数列の極限の計算方法

こんにちはコーヤです。

このページでは数列の一般項から極限を求める計算方法を勉強します。数列の振る舞い4パターンを判断しましょう。

数列の極限の振る舞い4パターン

数列の極限の振る舞いは4パターンあります。

数列の振る舞い

この4パターンのどれに分類されるかを求めていきましょう。

関数の収束発散の速さ

極限の計算に着手する前に、関数それぞれの発散の速度から極限を予想することができます。

「階乗関数>指数関数>冪関数>対数関数」という下のグラフのようなイメージで極限が予測できます。

関数の収束発散速度

極限の四則演算

2つの数列$a_n,b_n$がそれぞれ$\alpha , \beta$に収束する時、四則演算が成り立ちます。

$$
\begin{array}{cl}
(1) & a_n+b_n = \alpha + \beta \\\\
(2) & a_n-b_n = \alpha -\beta \\\\
(3) & a_n b_n = \alpha \beta \\\\
(4) & \displaystyle\frac{a_n}{b_n} = \displaystyle\frac{\alpha}{\beta}
\end{array}
$$

数列の極限の計算具体例

それでは具体例6つで数列の極限を計算してみましょう。

式変形で極限を直接求めるか、不等式を利用して極限を間接的に求めるかの2択です。

不等式の利用は「はさみうち」と「追い出し」の2パターンがあります。

はさみうちと追い出し
具体例1

$$
\displaystyle\lim_{n \to \infty}
\displaystyle\frac{n^2+2n+3}{3n^2+2n+1}
$$

分母分子ともに$n^2$で割ります。

$$
\begin{align}
\displaystyle\lim_{n \to \infty}
\displaystyle\frac{n^2+2n+3}{3n^2+2n+1}
&=
\displaystyle\lim_{n \to \infty}
\displaystyle\frac{1+2\displaystyle\frac{1}{n}+3\displaystyle\frac{1}{n^2}}{3+2\displaystyle\frac{1}{n}+\displaystyle\frac{1}{n^2}}
\\\\&=
\displaystyle\frac{1}{3}
\end{align}
$$

具体例2

$$
\displaystyle\lim_{n \to \infty}
\log (n-1)-\log(n+1)
$$

対数関数を1つにまとめると分数になります。

$$
\log (n-1)-\log(n+1)
=
\log
\left(
\displaystyle\frac{n-1}{n+1}
\right)
$$

分母分子ともに$n$で割ります。

$$
\begin{align}
\displaystyle\lim_{n \to \infty}
\log
\left(
\displaystyle\frac{n-1}{n+1}
\right)
&=
\displaystyle\lim_{n \to \infty}
\log
\left(
\displaystyle\frac{1-\displaystyle\frac{1}{n}}{1+\displaystyle\frac{1}{n}}
\right)
\\\\&=
\log 1
\\\\&=
0
\end{align}
$$

具体例3

$$
\displaystyle\lim_{n \to \infty}
n\left(\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2-1}\right)
$$

ルートがあるときは有理化すると計算が進みます。

$$
n\left(\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2-1}\right)
=
\displaystyle\frac{2n}
{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2-1}}
$$

分母分子を割るパターンが使えます。分母分子ともに$n$で割ります。

$$
\begin{align}
\displaystyle\lim_{n \to \infty}
\displaystyle\frac{2n}
{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2-1}}
&=
\displaystyle\lim_{n \to \infty}
\displaystyle\frac{2}
{\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{n^2}}+\sqrt{1-\displaystyle\frac{1}{n^2}}}
\\\\&=
\displaystyle\frac{2}{1+1}
\\\\&=
1
\end{align}
$$

具体例4

$$
\displaystyle\lim_{n \to \infty}
e^{\cos(n\pi)}
$$

$\cos(n\pi)=(-1)^n$です。この数列を$n=1$から順に書き出してみると

$$
\begin{array}{ccccccc}
\displaystyle\frac{1}{e},&e,&\displaystyle\frac{1}{e},&e,&\displaystyle\frac{1}{e},&e,&\cdots
\end{array}
$$

このように振動しています。振動の場合は極限なしです。

具体例5

$$
\displaystyle\lim_{n \to \infty}
\displaystyle\frac{\cos(n\pi)}{n}
$$

$\cos(n\pi)$があるので振動しそうですが、分母に$n$があるため収束すると予想できます。

このような振動を伴いつつ収束しそうな数列は「はさみうち」を使うことで計算できます。

$$
-1
\leq
\cos(n\pi)
\leq
1
$$

振動する部分を最大値と最小値で「はさみうち」します。不等式全体を$n$で割って

$$
-\displaystyle\frac{1}{n}
\leq
\displaystyle\frac{\cos(n\pi)}{n}
\leq
\displaystyle\frac{1}{n}
$$

続いて$n\to\infty$とします。

$$
\displaystyle\lim_{n \to \infty}
-\displaystyle\frac{1}{n}
\leq
\displaystyle\lim_{n \to \infty}
\displaystyle\frac{\cos(n\pi)}{n}
\leq
\displaystyle\lim_{n \to \infty}
\displaystyle\frac{1}{n}
$$

両サイドの極限は

$$
\displaystyle\lim_{n \to \infty}
-\displaystyle\frac{1}{n}
=
\displaystyle\lim_{n \to \infty}
\displaystyle\frac{1}{n}
=
0
$$

これより

$$
0
\leq
\displaystyle\lim_{n \to \infty}
\displaystyle\frac{\cos(n\pi)}{n}
\leq
0
$$

となるので

$$
\displaystyle\lim_{n \to \infty}
\displaystyle\frac{\cos(n\pi)}{n}
=
0
$$

です。

具体例6

$$
\displaystyle\lim_{n \to \infty}
3^n-2^n
$$

$3^n$でくくって

$$
\displaystyle\lim_{n \to \infty}
3^n-2^n
=
\displaystyle\lim_{n \to \infty}
3^n
\left\{
1-
\left(
\displaystyle\frac{2}{3}
\right)
^n
\right\}
$$

この時点で無限に発散する予測がつきます。この数列より小さな数列を用意して「追い出し」を使いましょう。

$$
1-
\left(
\displaystyle\frac{2}{3}
\right)
^n
\geq
\displaystyle\frac{1}{3}
$$

この不等式を利用して

$$
\displaystyle\lim_{n \to \infty}
3^n
\left\{
1-
\left(
\displaystyle\frac{2}{3}
\right)
^n
\right\}
\geq
\displaystyle\lim_{n \to \infty}
3^n
\left\{
\displaystyle\frac{1}{3}
\right\}
$$

となります。

$$
\displaystyle\lim_{n \to \infty}
3^n
\left\{
\displaystyle\frac{1}{3}
\right\}
=
\displaystyle\lim_{n \to \infty}
3^{n-1}
=
\infty
$$

小さい数列ですら無限大に発散することが分かったので

$$
\displaystyle\lim_{n \to \infty}
3^n-2^n
=
\infty
$$

です。

まとめ

数列の極限の振る舞いは4パターンあります。

数列の振る舞い

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