余因子の計算方法

こんにちはコーヤです。

このページでは余因子の計算方法を3ステップに分けて勉強します。余因子は余因子展開や逆行列の計算に必要です。

余因子の計算3ステップ

余因子の計算方法は3ステップです。

この行列の1行1列の余因子と2行3列の余因子を例に3ステップで計算してみます。

Step1. 符号がプラスかマイナスか調べる

このステップは簡単です。

行列の1番左上の成分はプラス、その隣はマイナス、その隣はプラスという感じで符号を決めていきます。

これだけです。

1行1列の余因子の符号はプラス、2行3列の余因子の符号はマイナスです。

Step2. 小行列の行列式を求める

1行1列の余因子を求めるとき、小行列は1行目と1列目を取り除いた行列のことです。

2行3列の余因子を求めるとき、小行列は2行目と3列目を取り除いた行列のことです。

$i$行$j$列を取り除いて小さくした行列は$M_{ij}$と表すことが多いです。

このステップでは小行列の行列式を計算してあげましょう。$det{M}_{11}$と$det{M}_{23}$の値が求まればOKです。

Step3. 符号と行列式の積を計算する

余因子の値は符号と行列式の積です。

$X_{\pm }$の1行1列の符号はプラス、行列式は$det{M}_{11}$なので、余因子は$det{M}_{11}$です。

$X_{\pm }$の2行3列の符号はマイナス、行列式は$det{M}_{23}$なので、余因子は$-det{M}_{23}$です。

行列$X$の$i$行$j$列の余因子を$X_{ij}$のように表すとすると、今回求めた余因子は

です。

余因子計算の具体例

それでは具体例で余因子を計算してみましょう。

この行列の1行1列、1行2列の余因子を求めてみましょう。

Step1. 符号がプラスかマイナスか調べる

プラスマイナスの行列を作ります。

Step2. 小行列の行列式を求める

小さくした行列の行列式を求めます。

Step3. 符号と行列式の積を計算する

$A_{\pm }$の1行1列の符号はプラス、行列式は$det{M}_{11}=11$なので、1行1列の余因子は$A_{11}=11$です。

$A_{\pm }$の1行2列の符号はマイナス、行列式は$det{M}_{12}=13$なので、1行2列の余因子は$A_{12}=-13$です。

まとめ

余因子の計算方法は3ステップです。