固有値と固有ベクトルの計算方法

こんにちはコーヤです。

このページでは固有値と固有ベクトルの計算方法を勉強します。行列の重要な値なので必ず計算できるようになっておきましょう。

固有値と固有ベクトルの意味

まずは固有値と固有ベクトルの意味だけ確認して、具体的な計算はページ後半で行います。

行列Aでベクトルvを写像するとき、以下の条件を満たす特別なvを考えます。

  • 写像後にvと同方向か逆方向のベクトルになる
  • 写像後に長さが変わるのはOK
  • v=0は対象外

例えば以下のようなベクトルがこれらの条件を満たします。

固有ベクトル

2vは同方向で長さが変わったときです。vは逆方向になって長さが変わらなかったときです。他にも2vとか3vとか無限にあります。

ベクトルvが行列Aで写像された結果である、というのも考慮して式で表してみると

Av=2vAv=v

こうなります。この条件を一般的な式で表します。ベクトルの係数をλとすると

Av=λv

となります。

この式が成り立つとき

  • λを行列Aの固有値
  • vを固有値λに対する固有ベクトル

と言います。

固有値と固有ベクトルの計算の流れ

固有値、固有ベクトルの条件は

Av=λv

を満たすものでした。

右辺を左辺に移項して

(AλE)v=0

となります。単位行列Eを使ってλを行列の形で表しているのに注意です。

ここで(AλE)の逆行列を両辺左側からかけてみます。

(AλE)1(AλE)v=(AλE)10

これを計算するとv=0となってします。

冒頭で紹介したとおり固有ベクトルはv0です。

この矛盾を解消するために、固有ベクトルを求めるときは(AλE)に逆行列が存在しないという設定をしてあげます。

逆行列が存在しないということは行列式が0になるはずなので

det(AλE)=0

を満たす場合にのみ注目して計算を進めていきます。この式を行列Aの固有方程式といいます。

固有値の計算方法

ここからは具体的な計算方法を見ていきます。行列Aを以下のようにします。

(1214)

固有値λが満たす条件はさきほど紹介したように

det(AλE)=0

です。まずはAλEを計算して

(1214)(λ00λ)=(1λ214λ)

これの行列式を計算します。

|1λ214λ|=(1λ)(4λ)+2=λ25λ+6=(λ2)(λ3)

これが0になればいいのでλの値は

λ1=2λ2=3

となります。これで固有値が求まりました。

固有ベクトルの計算方法

固有値が求まったら固有ベクトルが計算できます。

(AλE)v=0

この式にさっき求めたλ1=2λ2=3を代入して計算していきます。

λ1=2のときの固有ベクトルをv1として、ベクトルの成分を以下のようにします。

v1=(x1y1)

あとは計算していくだけです。

(Aλ1E)v1=(122142)(x1y1)=(1212)(x1y1)

この計算結果を

(Aλ1E)v1=0

に代入して

(1212)(x1y1)=0

これは同次連立1次方程式の形になっています。自由度1なので任意定数1個でv1を表現できます。

任意定数をk1として

v1=k1(21)

です。これで固有ベクトルが求まりました。

同様にλ2=3のときの固有ベクトルv2も求めていきます。

v2=(x2y2)

任意定数をk2として

(2211)(x2y2)=0

となるので

v2=k2(11)

です。

以上より固有ベクトルは

v1=k1(21)v2=k2(11)

となります。

固有ベクトルは

(AλE)v=0

を満たすものでした。この式を変形すると

vKer(AλE)

と書くことができます。どちらも同じ意味なので、好きな方で計算してください。

ちなみに、この式に登場するKer(AλE)を固有値λに対する固有空間といい

W(λ)=Ker(AλE)

と表します。

固有値と固有ベクトルの検算方法

固有値と固有ベクトルの検算方法です。

かなり簡単に検算できるので、試験中に使ってください。

固有値の検算方法

固有値は以下の2つの性質があります。

  • 固有値の和は行列の対角和と一致する
  • 固有値の積は行列の行列式と一致する

これらの性質を使って検算ができます。今の例を使って検算してみます。

固有値はλ1=2,λ2=3なので和は5、積は6です。

行列の対角和は左上から右下に向かって成分を足していったものでtrAと表されます。

trA=(1214)=1+4=5

たしかに固有値の和と一致しました。

次に行列式を求めると

detA=|1214|=6

たしかに固有値の積と一致しました。

固有ベクトルの検算方法

固有ベクトルの検算方法はこの式を満たしているかどうか検算すれば大丈夫です。

Av=λv

試しにv1を検算してみます。

(1214)k1(21)=2k1(21)

長さが2倍の同方向のベクトルになりました。

まとめ

det(AλE)=0

固有方程式を解くと固有値が求まります。

(AλE)v=0

この式に固有値を代入すると固有ベクトルが求まります。

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