線形空間の基底と次元

こんにちはコーヤです。

このページでは線形空間を生成する基底とその次元について勉強します。基底と次元は今後出てくる様々な空間で必要になる知識です。

基底の雰囲気

空間を表現する素材みたいなもののことを基底といいます。

例えば私たちが住んでいる世界は縦、横、高さの3つが基底です。これをもっと数学っぽく表現してみましょう。

線形空間$V$の一種である3次元列ベクトル空間$R^3$というのが私たちが住んでいる世界が分類される空間です。$R^3$では以下の$\boldsymbol{e}_1 , \boldsymbol{e}_2 , \boldsymbol{e}_3$が縦、横、高さに対応する基底となります。

$$
\left.
\begin{array}{ccc}
\boldsymbol{e}_1
=
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
&
\boldsymbol{e}_2
=
\begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
&
\boldsymbol{e}_3
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}
\end{array}
\right.
$$

$R^3$の基底で最も分かりやすいのが$\boldsymbol{e}_1 , \boldsymbol{e}_2 , \boldsymbol{e}_3 $ですが、基底はこれだけではありません。

$$
\left.
\begin{array}{ccc}
\boldsymbol{f}_1
=
\begin{pmatrix}
1 \\
3 \\
2
\end{pmatrix}
&
\boldsymbol{f}_2
=
\begin{pmatrix}
2 \\
4 \\
3
\end{pmatrix}
&
\boldsymbol{f}_3
=
\begin{pmatrix}
3 \\
2 \\
5
\end{pmatrix}
\end{array}
\right.
$$

$\boldsymbol{f}_1 , \boldsymbol{f}_2 , \boldsymbol{f}_3$も$R^3$の基底になります。

線形空間の基底の条件2つ

3次元列ベクトル空間$R^3$の基底として$\boldsymbol{e}_1 , \boldsymbol{e}_2 , \boldsymbol{e}_3$と$\boldsymbol{f}_1 , \boldsymbol{f}_2 , \boldsymbol{f}_3$を挙げました。

これ以外にも$R^3$の基底は無限にあります。基底は以下の2つの条件を満たせばどんな定め方をしてもOKです。

  • 線形独立であること
  • 線形結合で任意の元を表せること

この2つの条件がどういう意味なのか、詳しく見ていきましょう。

線形独立と線形従属の判定方法

まずは線形独立と線形従属の判定から始めます。

判定のときに使われるのが線形関係式です。線形空間$V$の元$\boldsymbol{a}_1 , \boldsymbol{a}_2 \cdots \boldsymbol{a}_n$と実数$c_1 , c_2 \cdots c_n$によって作られる以下の式を線形関係式といいます。

$$
c_1\boldsymbol{a}_1 + c_2\boldsymbol{a}_2 + \cdots + c_n\boldsymbol{a}_n
=
\boldsymbol{0}
$$

$c_1 , c_2 \cdots c_n$を好きなように調整して線形関係式を成り立たせます。

このとき$c_1 , c_2 \cdots c_n$が全て0のときしか成り立たないなら$\boldsymbol{a}_1 , \boldsymbol{a}_2 \cdots \boldsymbol{a}_n$は線形独立です。

$c_1 , c_2 \cdots c_n$のうち1つでも0ではないのに成り立ったなら$\boldsymbol{a}_1 , \boldsymbol{a}_2 \cdots \boldsymbol{a}_n$は線形従属です。

線形関係式を解くときに同次連立1次方程式が出てきます。自由度が0かどうかで線形独立と線形従属を判断するので、自由度が不安な方は同次連立1次方程式のページをご覧ください。

線形独立の具体例

$\boldsymbol{e}_1 , \boldsymbol{e}_2 , \boldsymbol{e}_3$と$\boldsymbol{f}_1 , \boldsymbol{f}_2 , \boldsymbol{f}_3$は線形独立です。確認してみましょう。

具体例1

$$
\left.
\begin{array}{ccc}
\boldsymbol{e}_1
=
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
&
\boldsymbol{e}_2
=
\begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
&
\boldsymbol{e}_3
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}
\end{array}
\right.
$$

$\boldsymbol{e}_1 , \boldsymbol{e}_2 , \boldsymbol{e}_3$の線形関係式は

$$
c_1\boldsymbol{e}_1 + c_2\boldsymbol{e}_2 + c_3\boldsymbol{e}_3
=
\boldsymbol{0}
$$

これを行列形式に変形して

$$
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{e}_1 & \boldsymbol{e}_2 & \boldsymbol{e}_3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
c_1 \\
c_2 \\
c_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
$$

$\boldsymbol{e}_1 , \boldsymbol{e}_2 , \boldsymbol{e}_3$を成分表示にして

$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
c_1 \\
c_2 \\
c_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
0
\end{pmatrix}
$$

未知数の数は$c_1,c_2,c_3$の3個、ランクは3なので、自由度0です。したがって

$$
(c_1,c_2,c_3)=(0,0,0)
$$

となります。つまり$\boldsymbol{e}_1 , \boldsymbol{e}_2 , \boldsymbol{e}_3$は線形独立です。

具体例2

$$
\left.
\begin{array}{ccc}
\boldsymbol{f}_1
=
\begin{pmatrix}
1 \\
3 \\
2
\end{pmatrix}
&
\boldsymbol{f}_2
=
\begin{pmatrix}
2 \\
4 \\
3
\end{pmatrix}
&
\boldsymbol{f}_3
=
\begin{pmatrix}
3 \\
2 \\
5
\end{pmatrix}
\end{array}
\right.
$$

$\boldsymbol{f}_1 , \boldsymbol{f}_2 , \boldsymbol{f}_3$の線形関係式は

$$
c_1\boldsymbol{f}_1 + c_2\boldsymbol{f}_2 + c_3\boldsymbol{f}_3
=
\boldsymbol{0}
$$

これを行列形式に変形して

$$
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{f}_1 & \boldsymbol{f}_2 & \boldsymbol{f}_3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
c_1 \\
c_2 \\
c_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
$$

$\boldsymbol{f}_1 , \boldsymbol{f}_2 , \boldsymbol{f}_3$を成分表示にして

$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
3 & 4 & 2\\
2 & 3 & 5
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
c_1 \\
c_2 \\
c_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
0
\end{pmatrix}
$$

未知数の数は$c_1,c_2,c_3$の3個、ランクは3なので、自由度0です。したがって

$$
(c_1,c_2,c_3)=(0,0,0)
$$

となります。つまり$\boldsymbol{f}_1 , \boldsymbol{f}_2 , \boldsymbol{f}_3$は線形独立です。

線形従属の具体例

線形従属となる具体例2つです。

具体例1

$$
\left.
\begin{array}{ccc}
\boldsymbol{g}_1
=
\begin{pmatrix}
1 \\
3 \\
4
\end{pmatrix}
&
\boldsymbol{g}_2
=
\begin{pmatrix}
2 \\
4 \\
6
\end{pmatrix}
&
\boldsymbol{g}_3
=
\begin{pmatrix}
3 \\
2 \\
5
\end{pmatrix}
\end{array}
\right.
$$

$\boldsymbol{g}_1 , \boldsymbol{g}_2 , \boldsymbol{g}_3$の線形関係式は

$$
c_1\boldsymbol{g}_1 + c_2\boldsymbol{g}_2 + c_3\boldsymbol{g}_3
=
\boldsymbol{0}
$$

これを行列形式に変形して

$$
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{g}_1 & \boldsymbol{g}_2 & \boldsymbol{g}_3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
c_1 \\
c_2 \\
c_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
$$

$\boldsymbol{g}_1 , \boldsymbol{g}_2 , \boldsymbol{g}_3$を成分表示にして

$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
3 & 4 & 2\\
4 & 6 & 5
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
c_1 \\
c_2 \\
c_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
0
\end{pmatrix}
$$

未知数の数は$c_1,c_2,c_3$の3個、ランクは2なので、自由度1です。任意定数$t$を使って

$$
(c_1,c_2,c_3)=(8t,-7t,2t)
$$

となります。つまり$\boldsymbol{g}_1 , \boldsymbol{g}_2 , \boldsymbol{g}_3$は線形従属です。

具体例2

$$
\left.
\begin{array}{cccc}
\boldsymbol{h}_1
=
\begin{pmatrix}
1 \\
-1 \\
-1
\end{pmatrix}
&
\boldsymbol{h}_2
=
\begin{pmatrix}
-1 \\
1 \\
-1
\end{pmatrix}
&
\boldsymbol{h}_3
=
\begin{pmatrix}
-1 \\
-1 \\
1
\end{pmatrix}
&
\boldsymbol{h}_4
=
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
1
\end{pmatrix}
\end{array}
\right.
$$

$\boldsymbol{h}_1 , \boldsymbol{h}_2 , \boldsymbol{h}_3 , \boldsymbol{h}_4$の線形関係式は

$$
c_1\boldsymbol{h}_1 + c_2\boldsymbol{h}_2 + c_3\boldsymbol{h}_3 + c_4\boldsymbol{h}_4
=
\boldsymbol{0}
$$

これを行列形式に変形して

$$
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{h}_1 & \boldsymbol{h}_2 & \boldsymbol{h}_3 & \boldsymbol{h}_4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
c_1 \\
c_2 \\
c_3 \\
c_4
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
$$

$\boldsymbol{h}_1 , \boldsymbol{h}_2 , \boldsymbol{h}_3 , \boldsymbol{h}_4$を成分表示にして

$$
\begin{pmatrix}
1 & -1 & -1 & 1\\
-1 & 1 & -1 & 1\\
-1 & -1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
c_1 \\
c_2 \\
c_3 \\
c_4
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
0\\
0
\end{pmatrix}
$$

未知数の数は$c_1,c_2,c_3,c_4$の4個、ランクは3なので、自由度は1です。

$$
(c_1,c_2,c_3,c_4)=(t,t,t,t)
$$

となります。つまり$\boldsymbol{h}_1 , \boldsymbol{h}_2 , \boldsymbol{h}_3 , \boldsymbol{h}_4$は線形従属です。

線形結合で任意の元を表せるか

基底の条件2つ目の線形結合で任意の元を表せるかを調べます。

線形結合は線形関係式の右辺が変わった式です。線形空間$V$の元$\boldsymbol{a}_1 , \boldsymbol{a}_2 \cdots \boldsymbol{a}_n$と線形空間$V$の任意の元$\boldsymbol{v}$と実数$c_1 , c_2 \cdots c_n$によって作られる以下の式を線形結合といいます。

$$
c_1\boldsymbol{a}_1 + c_2\boldsymbol{a}_2 + \cdots + c_n\boldsymbol{a}_n
=
\boldsymbol{v}
$$

$\boldsymbol{v}$は任意の元なので線形空間$V$のあらゆる場所を想定します。それでも$c_1 , c_2 \cdots c_n$を調整して線形結合を成り立たせることができたら、線形結合で任意の元を表せると判断できます。

線形結合を解くときに非同次連立1次方程式が出てきます。不安な方は非同次連立1次方程式のページをご覧ください。

線形結合の具体例

線形独立である$\boldsymbol{e}_1 , \boldsymbol{e}_2 , \boldsymbol{e}_3 $と$\boldsymbol{f}_1 , \boldsymbol{f}_2 , \boldsymbol{f}_3 $について、線形結合かどうかを調べます。

基底が欠けた場合も含めて具体例3つです。

具体例1

$$
\left.
\begin{array}{cccc}
\boldsymbol{e}_1
=
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
&
\boldsymbol{e}_2
=
\begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
&
\boldsymbol{e}_3
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}
&
\boldsymbol{v}
=
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
\end{array}
\right.
$$

$\boldsymbol{e}_1 , \boldsymbol{e}_2 , \boldsymbol{e}_3$の線形結合は

$$
c_1\boldsymbol{e}_1 + c_2\boldsymbol{e}_2 + c_3\boldsymbol{e}_3
=
\boldsymbol{v}
$$

これを行列形式に変形して

$$
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{e}_1 & \boldsymbol{e}_2 & \boldsymbol{e}_3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
c_1 \\
c_2 \\
c_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
$$

$\boldsymbol{e}_1 , \boldsymbol{e}_2 , \boldsymbol{e}_3$を成分表示にして

$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
c_1 \\
c_2 \\
c_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x\\
y\\
z
\end{pmatrix}
$$

拡大係数行列を階段行列に変形して(この例は変形しなくても階段行列になっています)

$$
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & x\\
0 & 1 & 0 & y\\
0 & 0 & 1 & z
\end{array}
\right)
$$

これを解くと

$$
\begin{pmatrix}
c_1 \\
c_2 \\
c_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
$$

となります。このような$c_1,c_2,c_3$を用いれば線形結合を満たすため$\boldsymbol{e}_1 , \boldsymbol{e}_2 , \boldsymbol{e}_3$は任意の元を表せることが分かりました。

具体例2

$$
\left.
\begin{array}{cccc}
\boldsymbol{f}_1
=
\begin{pmatrix}
1 \\
3 \\
2
\end{pmatrix}
&
\boldsymbol{f}_2
=
\begin{pmatrix}
2 \\
4 \\
3
\end{pmatrix}
&
\boldsymbol{f}_3
=
\begin{pmatrix}
3 \\
2 \\
5
\end{pmatrix}
&
\boldsymbol{v}
=
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
\end{array}
\right.
$$

$\boldsymbol{f}_1 , \boldsymbol{f}_2 , \boldsymbol{f}_3$の線形結合は

$$
c_1\boldsymbol{f}_1 + c_2\boldsymbol{f}_2 + c_3\boldsymbol{f}_3
=
\boldsymbol{v}
$$

これを行列形式に変形して

$$
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{f}_1 & \boldsymbol{f}_2 & \boldsymbol{f}_3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
c_1 \\
c_2 \\
c_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
$$

$\boldsymbol{f}_1 , \boldsymbol{f}_2 , \boldsymbol{f}_3$を成分表示にして

$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
3 & 4 & 2\\
2 & 3 & 5
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
c_1 \\
c_2 \\
c_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x\\
y\\
z
\end{pmatrix}
$$

拡大係数行列を階段行列に変形して

$$
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 3 & x\\
3 & 4 & 2 & y\\
2 & 3 & 5 & z
\end{array}
\right)
\Rightarrow
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 3 & x\\
0 & -1 & -1 & -2x+z\\
0 & 0 & -5 & x+y-2z
\end{array}
\right)
$$

これを解くと

$$
\begin{pmatrix}
c_1 \\
c_2 \\
c_3
\end{pmatrix}
=
\frac{1}{5}
\begin{pmatrix}
-14x+y+8z \\
11x+y-7z \\
-x-y+2z
\end{pmatrix}
$$

となります。このような$c_1,c_2,c_3$を用いれば線形結合を満たすため$\boldsymbol{f}_1 , \boldsymbol{f}_2 , \boldsymbol{f}_3$は任意の元を表せることが分かりました。

具体例3

$$
\left.
\begin{array}{ccc}
\boldsymbol{e}_1
=
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
&
\boldsymbol{e}_2
=
\begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
&
\boldsymbol{v}
=
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
\end{array}
\right.
$$

$\boldsymbol{e}_1 , \boldsymbol{e}_2$の線形結合は

$$
c_1\boldsymbol{e}_1 + c_2\boldsymbol{e}_2
=
\boldsymbol{v}
$$

これを行列形式に変形して

$$
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{e}_1 & \boldsymbol{e}_2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
c_1 \\
c_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
$$

$\boldsymbol{e}_1 , \boldsymbol{e}_2$を成分表示にして

$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
c_1 \\
c_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x\\
y\\
z
\end{pmatrix}
$$

拡大係数行列を階段行列に変形して(この例は変形しなくても階段行列になっています)

$$
\left(
\begin{array}{cc|c}
1 & 0 & x \\
0 & 1 & y \\
0 & 0 & z
\end{array}
\right)
$$

係数行列のランクより拡大係数行列のランクの方が大きいので$c_1,c_2$は解なしとなります。

解なしでは線形結合を満たせないため$\boldsymbol{e}_1 , \boldsymbol{e}_2$は任意の元を表せません。

見た目的にも$\boldsymbol{e}_1 , \boldsymbol{e}_2$だけでは$\boldsymbol{v}$の$z$成分が表せないので、任意の元を表すのは無理そうだと予想できます。

線形空間の次元

線形空間$V$の次元は

$$
\dim V = n
$$

と表し、基底の数が$n$に入ります。

$\boldsymbol{e}_1 , \boldsymbol{e}_2 , \boldsymbol{e}_3$が作る線形空間$R^3$は、基底が3つあるので

$$
\dim R^3 = 3
$$

になります。

$\boldsymbol{f}_1 , \boldsymbol{f}_2 , \boldsymbol{f}_3$が作る線形空間$R^3$も$\dim R^3 = 3$です。

基底は$\langle ~~~ \rangle$で囲って表現することが多いです。

同じ線形空間$R^3$でも$\boldsymbol{e}_1 , \boldsymbol{e}_2 , \boldsymbol{e}_3$が基底になるときもあれば$\boldsymbol{f}_1 , \boldsymbol{f}_2 , \boldsymbol{f}_3$が基底になるときもあります。

基底を明示したいときは$\langle \boldsymbol{e}_1 , \boldsymbol{e}_2 , \boldsymbol{e}_3 \rangle$のように表します。

まとめ

基底は以下の2つの条件を満たせばどんな定め方をしてもOKです。

  • 線形独立であること
  • 線形結合で任意の元を表せること

基底の数が$n$個のとき、その基底が作る線形空間$V$の次元は以下の式で表されます。

$$
\dim V = n
$$

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