広義積分の計算方法

こんにちはコーヤです。

このページでは、無限が絡む積分を計算する広義積分の計算方法を勉強します。

広義積分の使い所
1. パターン1. 積分区間が無限のとき
2. パターン2. 積分区間内で被積分関数が無限になるとき
広義積分の収束判定
1. パターン1. 積分区間が無限のとき
2. パターン2. 積分区間内で被積分関数が無限になるとき
コーシーの主値
置換積分と広義積分の相性
まとめ

広義積分の使い所

広義積分は不連続な関数、有界でない関数の積分を計算する方法です。主に無限が絡む以下の2つの場面で使用します。

積分区間が無限のとき
積分区間内で被積分関数が無限になるとき

それぞれのパターンを見ていきましょう。

パターン1. 積分区間が無限のとき

積分区間に無限があるときは、積分区間をひとまず $R$ とおいて計算した後に極限をとります。

図の色がついた面積 $S$ を求めます。

$\begin{aligned} S_{1} & = \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}} d x \\ = lim_{R \to \infty} \int_{1}^{R} \frac{1}{x^{2}} d x \\ = lim_{R \to \infty} {[- \frac{1}{x}]}_{1}^{R} \\ = lim_{R \to \infty} (- \frac{1}{R} + 1) \\ = 1 \end{aligned}$

$\begin{aligned} S_{2} & = \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} d x \\ = lim_{R \to \infty} \int_{1}^{R} \frac{1}{x} d x \\ = lim_{R \to \infty} {[\log | x |]}_{1}^{R} \\ = lim_{R \to \infty} \log R \\ = \infty \end{aligned}$

$S_{1}$ のように広義積分の値が収束する場合、この広義積分の値は存在し、値は $S_{1} = 1$ となります。

$S_{2}$ のように広義積分の値が収束しない場合、この広義積分の値は存在しないとみなします。

パターン2. 積分区間内で被積分関数が無限になるとき

積分区間内で被積分関数が無限になるときは、積分区間をひとまず $r$ とおいて計算した後に極限をとります。

図の色がついた面積 $S$ を求めます。

$\begin{aligned} S_{3} & = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} d x \\ = lim_{r \to + 0} \int_{r}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} d x \\ = lim_{r \to + 0} {[2 \sqrt{x}]}_{r}^{1} \\ = lim_{r \to + 0} (2 - 2 \sqrt{r}) \\ = 2 \end{aligned}$

$\begin{aligned} S_{4} & = \int_{0}^{1} \frac{1}{x} d x \\ = lim_{r \to + 0} \int_{r}^{1} \frac{1}{x} d x \\ = lim_{r \to + 0} {[\log | x |]}_{r}^{1} \\ = lim_{r \to + 0} - \log r \\ = \infty \end{aligned}$

$S_{3}$ のように広義積分の値が収束する場合、この広義積分の値は存在し、値は $S_{3} = 2$ となります。

$S_{4}$ のように広義積分の値が収束しない場合、この広義積分の値は存在しないとみなします。

広義積分の収束判定

広義積分が直接計算できない場合は収束判定を行います。

積分区間が無限のとき
積分区間内で被積分関数が無限になるとき

それぞれのパターンで収束判定の計算が異なります。

パターン1. 積分区間が無限のとき

収束判定の定義

収束判定の定義は以下のとおりです。

区間 $[a, \infty)$ で連続な関数 $f (x)$ が $λ > 1$ の定数 $λ$ と $C > 0$ の定数 $C$ を用いて、 $x \to \infty$ のとき

$| f (x) x^{λ} | \leq C$

を満たすような $λ, C$ が存在すれば

$\int_{a}^{\infty} f (x) d x$

は絶対収束する。

例題1

$S_{1} = \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}} d x$

が絶対収束するためには、区間 $[1, \infty)$ で

$| x^{λ - 2} | \leq C$

を満たせばよいです。例えば

$\begin{array}{cc} λ = \frac{3}{2} & C = 1 \end{array}$

とすると

$| x^{λ - 2} | = | \frac{1}{\sqrt{x}} |$

となり、 $x \to \infty$ で

$lim_{x \to \infty} | \frac{1}{\sqrt{x}} | \leq 1$

となります。

以上より $S_{1}$ は絶対収束します。

例題2

$S_{2} = \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} d x$

が絶対収束するためには、区間 $[1, \infty)$ で

$| x^{λ - 1} | \leq C$

を満たせばよいですが

$λ = 1.01$

のように $λ$ をなるべく小さくしても

$| x^{λ - 1} | = | x^{\frac{1}{100}} |$

となり、 $x \to \infty$ で

$lim_{x \to \infty} | x^{\frac{1}{100}} | = \infty$

となるので、定数 $C$ をどんな値にしても不等式が成り立ちません。

以上より $S_{2}$ の値は存在しません。

パターン2. 積分区間内で被積分関数が無限になるとき

収束判定の定義

収束判定の定義は以下のとおりです。

区間 $(a, b]$ で連続な関数 $f (x)$ が $0 < λ < 1$ の定数 $λ$ と $C > 0$ の定数 $C$ を用いて、 $x \to a + 0$ のとき

$| f (x) (x - a)^{λ} | \leq C$

を満たすような $λ, C$ が存在すれば

$\int_{a}^{b} f (x) d x$

は絶対収束する。

例題3

$S_{3} = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

が絶対収束するためには、区間 $(0, 1]$ で

$| x^{λ - \frac{1}{2}} | \leq C$

を満たせばよいです。例えば

$\begin{array}{cc} λ = \frac{2}{3} & C = 1 \end{array}$

とすると

$| x^{λ - \frac{1}{2}} | = | x^{\frac{1}{6}} |$

となり、 $x \to + 0$ で

$lim_{x \to + 0} | x^{\frac{1}{6}} | \leq 1$

となります。

以上より $S_{3}$ は絶対収束します。

例題4

$S_{4} = \int_{0}^{1} \frac{1}{x} d x$

が絶対収束するためには、区間 $(0, 1]$ で

$| x^{λ - 1} | \leq C$

を満たせばよいですが

$λ = 0.99$

のように $λ$ をなるべく大きくしても

$| x^{λ - 1} | = | x^{- \frac{1}{100}} |$

となり、 $x \to + 0$ で

$lim_{x \to + 0} | x^{- \frac{1}{100}} | = \infty$

となるので、定数 $C$ をどんな値にしても不等式が成り立ちません。

以上より $S_{4}$ の値は存在しません。

コーシーの主値

$\int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x = lim_{R \to \infty} \int_{- R}^{R} f (x) d x$

このように計算するのは間違いです。積分区間の $\infty$ と $- \infty$ が同じ発散速度かわからないので、1つの文字 $R$ だけで表すのはNGです。

正しくは

$\int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x = lim_{R_{1} \to \infty} lim_{R_{2} \to \infty} \int_{- R_{2}}^{R_{1}} f (x) d x$

と2つの文字で計算しないといけません。

例題5

$\begin{aligned} \int_{- \infty}^{\infty} 2 x d x & = lim_{R_{1} \to \infty} lim_{R_{2} \to \infty} \int_{- R_{2}}^{R_{1}} 2 x d x \\ = lim_{R_{1} \to \infty} lim_{R_{2} \to \infty} {[x^{2}]}_{- R_{2}}^{R_{1}} \\ = lim_{R_{1} \to \infty} lim_{R_{2} \to \infty} (R_{1}^{2} - R_{2}^{2}) \end{aligned}$

このように不定形になります。

例題6

$\begin{aligned} \int_{- 1}^{1} \frac{1}{x} d x & = lim_{r_{1} \to + 0} lim_{r_{2} \to + 0} (\int_{- 1}^{- r_{2}} \frac{1}{x} d x + \int_{r_{1}}^{1} \frac{1}{x} d x) \\ = lim_{r_{1} \to + 0} lim_{r_{2} \to + 0} ({[\log | x |]}_{- 1}^{- r_{2}} + {[\log | x |]}_{r_{1}}^{1}) \\ = lim_{r_{1} \to + 0} lim_{r_{2} \to + 0} (\log r_{2} - \log r_{1}) \\ = lim_{r_{1} \to + 0} lim_{r_{2} \to + 0} \log \frac{r_{2}}{r_{1}} \end{aligned}$

これも不定形になります。

上記の例題5,6のように、広義積分は2つの文字を使うと値を計算できなくなることが多いです。

これを解消するために「コーシーの主値」という特別ルールを採用する場合があります。

例題5のように積分区間が $(- \infty, \infty)$ の場合、同じくらいの発散速度だと仮定して $(- R, R)$ として計算します。

例題6のように被積分関数が $x = 0$ で定義されていない場合、積分区間が同じくらい定義域から離れている仮定して $(- 1, - r)$ と $(r, 1)$ として計算します。

この特別ルールで積分の値を計算する場合はインテグラルの前に $P V$ をつけて表します。

例題5（コーシーの主値）

$\begin{aligned} P V \int_{- \infty}^{\infty} 2 x d x & = lim_{R \to \infty} \int_{- R}^{R} 2 x d x \\ = lim_{R \to \infty} {[x^{2}]}_{- R}^{R} \\ = lim_{R \to \infty} (R^{2} - R^{2}) \\ = 0 \end{aligned}$

例題6（コーシーの主値）

$\begin{aligned} P V \int_{- 1}^{1} \frac{1}{x} d x & = lim_{r \to + 0} (\int_{- 1}^{- r} \frac{1}{x} d x + \int_{r}^{1} \frac{1}{x} d x) \\ = lim_{r \to + 0} ({[\log | x |]}_{- 1}^{_{2}} + {[\log | x |]}_{r}^{1}) \\ = lim_{r \to + 0} (\log r - \log r) \\ = 0 \end{aligned}$

このようにコーシーの主値を使うと値が求まります。

$P V$ は主値(Principal Value)のことです。

置換積分と広義積分の相性

置換積分を駆使しながら積分値を求めるとき、広義積分で使う $R$ や $r$ が邪魔して置換が上手く行かない場合があります。

$\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x$

$\int_{0}^{\frac{1}{2} π} \log (\sin x) d x$

こういった積分です。

こういう場合は最初に収束判定を行うと計算しやすくなります。収束すると分かれば

$R$ や $r$ を使わずに計算できる
積分値を $I$ など文字をつかって表現できる

といったメリットがあります。

計算過程を実際に見たほうがメリットが伝わると思うので、上記2つの積分を解いているページをご覧ください。1つ目の例はガウス積分のページ、2つ目の例は積分腕試しのページで解いています。

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まとめ

積分区間が無限のとき
積分区間内で被積分関数が無限になるとき

このような場合は広義積分で計算します。

2変数関数の極限の計算方法

2変数関数の極限の計算方法を勉強します。1変数関数では曲線の極限を扱いましたが、2変数関数では曲面の極限を扱います。

回転体の体積と表面積の計算方法

回転体の体積と表面積の計算方法を勉強します。陽関数表示、媒介変数表示、極座標表示の3パターンです。

広義積分の計算方法

広義積分の使い所

パターン1. 積分区間が無限のとき

パターン2. 積分区間内で被積分関数が無限になるとき

広義積分の収束判定

パターン1. 積分区間が無限のとき

収束判定の定義

例題1

例題2

パターン2. 積分区間内で被積分関数が無限になるとき

収束判定の定義

例題3

例題4

コーシーの主値

例題5

例題6

例題5（コーシーの主値）

例題6（コーシーの主値）

置換積分と広義積分の相性

まとめ

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