重積分の意味と計算方法

こんにちはコーヤです。

このページでは、二変数関数の積分である重積分の意味と計算方法を勉強します。

積分と重積分の違い
重積分の計算方法
変数分離できる場合の計算方法
積分領域が変数の場合の計算方法
積分の順番を変更する場合の計算方法
まとめ

積分と重積分の違い

積分と比べながら重積分の意味を確認します。

積分の意味

微小区間 $d x$ で区切られる長方形の面積の和から、積分範囲 $(a, b)$ の面積 $S$ を求めることができます。

$S = \int_{a}^{b} f (x) d x$

重積分の意味

微小区間 $d S$ で作られる直方体の体積の和から、積分領域 $D$ の体積 $V$ を求めることができます。

$V = \iint_{D} f (x, y) d S$

$d S$ は面積要素や面素と呼びます。

$d S$ は $x$ 軸方向の微小区間 $d x$ と $y$ 軸方向の微小区間 $d y$ の積で表すことができます。

$d S = d x d y$

重積分の計算方法

前述の通り重積分の意味は直方体の和ですが、計算の流れは以下の2ステップで行われます。

断面積を求める
断面積を積分して体積を求める

それでは例題で重積分の計算をしてみましょう。

以下の体積を求めます。

$\begin{array}{ll} f (x, y) = x + y \\ D = {(x, y) | 1 ≦ x ≦ 2, 0 ≦ y ≦ 1} \end{array}$

まずは $y = y_{0}$ と固定して、断面積 $S (y_{0})$ を求めます。

$\begin{aligned} S (y_{0}) & = \int_{1}^{2} f (x, y_{0}) d x \\ = \int_{1}^{2} x + y_{0} d x \\ = {[\frac{1}{2} x^{2} + x y_{0}]}_{1}^{2} \\ = \frac{3}{2} + y_{0} \end{aligned}$

$y_{0}$ を変数 $y$ に戻して、断面積 $S (y)$ を積分して体積 $V$ を求めます。

$\begin{aligned} V & = \int_{0}^{1} S (y) d y \\ = \int_{0}^{1} \frac{3}{2} + y d y \\ = {[\frac{3}{2} y + \frac{1}{2} y^{2}]}_{0}^{1} \\ = 2 \end{aligned}$

これで体積 $V$ が求まりました。

今回は $y$ を固定して計算しましたが、 $x$ を固定しても結果は変わりません。

$x = x_{0}$ と固定するパターンも計算してみます。断面積 $S (x_{0})$ を求めます。

$\begin{aligned} S (x_{0}) & = \int_{0}^{1} f (x_{0}, y) d y \\ = \int_{0}^{1} x_{0} + y d y \\ = {[x_{0} y + \frac{1}{2} y^{2}]}_{0}^{1} \\ = x_{0} + \frac{1}{2} \end{aligned}$

$x_{0}$ を変数 $x$ に戻して、断面積 $S (x)$ を積分して体積 $V$ を求めます。

$\begin{aligned} V & = \int_{1}^{2} S (x) d x \\ = \int_{1}^{2} x + \frac{1}{2} d x \\ = {[\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} x]}_{1}^{2} \\ = 2 \end{aligned}$

このように、重積分はどちらの変数から積分しても結果は変わりません。

慣れてきたら断面積を経由せずに計算してみましょう。

$\begin{aligned} V & = \iint_{D} f (x, y) d S \\ = \iint_{D} x + y d S \\ = \int_{0}^{1} \int_{1}^{2} x + y d x d y \\ = \int_{0}^{1} (\int_{1}^{2} x + y d x) d y \\ = \int_{0}^{1} ({[\frac{1}{2} x^{2} + x y]}_{1}^{2}) d y \\ = \int_{0}^{1} (\frac{3}{2} + y) d y \\ = \int_{0}^{1} \frac{3}{2} + y d y \\ = {[\frac{3}{2} y + \frac{1}{2} y^{2}]}_{0}^{1} \\ = 2 \end{aligned}$

このように $x$ で積分するときは $y$ を定数扱いしてあげればOKです。

変数を定数扱いするのは、偏微分の計算と同じイメージです。

変数分離できる場合の計算方法

$f (x, y) = g (x) h (y)$

のように変数分離できる場合は、以下のように別々の積分にすることができます。

$\iint_{D} f (x, y) d S = \int g (x) d x \int h (y) d y$

それでは例題で変数分離の重積分を計算をしてみましょう。

$\begin{array}{ll} f (x, y) = x y \\ D = {(x, y) | 1 ≦ x ≦ 2, 0 ≦ y ≦ 1} \end{array}$

これを $x$ から積分する場合、 $y$ から積分する場合、変数分離する場合の3パターンで計算します。

$x$ から積分する場合

$\begin{aligned} V & = \iint_{D} x y d S \\ = \int_{0}^{1} \int_{1}^{2} x y d x d y \\ = \int_{0}^{1} {[\frac{1}{2} x^{2} y]}_{1}^{2} d y \\ = \int_{0}^{1} \frac{3}{2} y d y \\ = {[\frac{3}{4} y^{2}]}_{0}^{1} \\ = \frac{3}{4} \end{aligned}$

$y$ から積分する場合

$\begin{aligned} V & = \iint_{D} x y d S \\ = \int_{1}^{2} \int_{0}^{1} x y d y d x \\ = \int_{1}^{2} {[\frac{1}{2} x y^{2}]}_{0}^{1} d x \\ = \int_{1}^{2} \frac{1}{2} x d x \\ = {[\frac{1}{4} x^{2}]}_{1}^{2} \\ = \frac{3}{4} \end{aligned}$

変数分離する場合

$\begin{aligned} V & = \iint_{D} x y d S \\ = \int_{1}^{2} x d x \int_{0}^{1} y d y \\ = {[\frac{1}{2} x^{2}]}_{1}^{2} \cdot {[\frac{1}{2} y^{2}]}_{0}^{1} \\ = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \\ = \frac{3}{4} \end{aligned}$

どの方法で計算してもOKです。

積分領域が変数の場合の計算方法

積分領域 $D$ が $x y$ の関数で定義されるときは、積分範囲に注意が必要です。

例題として、以下の積分領域 $D$ で $f (x, y) = x + y$ を積分します。

このように積分領域に変数が含まれる場合、どちらかの変数の積分範囲をもう一方の変数で表します。

$y$ の積分範囲を $x$ で表す場合

$y$ の積分範囲を $x$ で表した場合は、 $y$ の積分を先に行います。

$\begin{aligned} V & = \iint_{D} x + y d S \\ = \int_{0}^{1} \int_{1}^{2 x} x + y d y d x \\ = \int_{0}^{1} {[x y + \frac{1}{2} y^{2}]}_{1}^{2 x} d x \\ = \int_{0}^{1} 4 x^{2} d x \\ = {[\frac{4}{3} x^{3}]}_{0}^{1} \\ = \frac{4}{3} \end{aligned}$

$x$ の積分範囲を $y$ で表す場合

$x$ の積分範囲を $y$ で表した場合は、 $x$ の積分を先に行います。

$\begin{aligned} V & = \iint_{D} x + y d S \\ = \int_{0}^{2} \int_{\frac{1}{2} y}^{1} x + y d x d y \\ = \int_{0}^{2} {[\frac{1}{2} x^{2} + x y]}_{\frac{1}{2} y}^{1} d y \\ = \int_{0}^{2} - \frac{5}{8} y^{2} + y + \frac{1}{2} d y \\ = {[- \frac{5}{24} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} y]}_{0}^{2} \\ = \frac{4}{3} \end{aligned}$

積分の順番を変更する場合の計算方法

以下の重積分を求めます。

$\begin{array}{ll} f (x, y) = \sin x \sin^{α} y (0 < α) \\ D = {(x, y) | 0 ≦ x ≦ \frac{1}{2} π, 0 ≦ y ≦ x} \end{array}$

これは $y$ の積分範囲に $x$ が含まれているので、先に $y$ を積分します。

$\begin{aligned} V & = \iint_{D} \sin x \sin^{α} y d S \\ = \int_{0}^{\frac{1}{2} π} \int_{0}^{x} \sin x \sin^{α} y d y d x \end{aligned}$

このように式を立てると $\sin^{α} y$ の積分でストップします。

このとき、積分領域 $D$ の表現方法を変えることで重積分がスムーズにできるときがあります。

上図左側では $y$ の積分範囲に $x$ が含まれていますが、右側のように $x$ の積分範囲に $y$ が含まれる形に変更します。

すると重積分の計算は以下のようになります。

$\begin{aligned} V & = \iint_{D} \sin x \sin^{α} y d S \\ = \int_{0}^{\frac{1}{2} π} \int_{y}^{\frac{1}{2} π} \sin x \sin^{α} y d x d y \\ = \int_{0}^{\frac{1}{2} π} {[- \cos x \sin^{α} y]}_{y}^{\frac{1}{2} π} d y \\ = \int_{0}^{\frac{1}{2} π} \cos y \sin^{α} y d y \end{aligned}$

ここで置換積分を行います。

$\begin{aligned} t & = \sin y \\ d t & = \cos y \end{aligned}$

$\begin{array}{ccccc} y & : & 0 & \to & \frac{1}{2} π \\ t & : & 0 & \to & 1 \end{array}$

$\begin{aligned} V & = \int_{0}^{\frac{1}{2} π} \cos y \sin^{α} y d y \\ = \int_{0}^{1} t^{α} d t \\ = {[\frac{1}{α + 1} t^{α + 1}]}_{0}^{1} \\ = \frac{1}{α + 1} \end{aligned}$

このように簡単に積分することができました。

まとめ

重積分は微小区間 $d S$ で積分領域 $D$ を積分します。計算方法は1つの変数に注目した積分を2回行います。

$V = \iint_{D} f (x, y) d S$

累次積分の計算方法と積分領域の扱い方

次のページ前のページ目次

ラグランジュの未定乗数法

特定の条件下での極値の候補を求めるラグランジュの未定乗数法を勉強します。

積分と重積分の違い

積分の意味

重積分の意味

重積分の計算方法

変数分離できる場合の計算方法

xから積分する場合

yから積分する場合

変数分離する場合

積分領域が変数の場合の計算方法

yの積分範囲をxで表す場合

xの積分範囲をyで表す場合

積分の順番を変更する場合の計算方法

まとめ

次のページ

前のページ

目次

コメント欄

$x$ から積分する場合

$y$ から積分する場合

$y$ の積分範囲を $x$ で表す場合

$x$ の積分範囲を $y$ で表す場合