行列のn乗の計算方法

こんにちはコーヤです。

このページでは行列の$n$乗を計算する方法を、対角化できる場合、ジョルダン標準形になる場合、ケーリー・ハミルトンの定理を使う場合の3パターン勉強します。

$n$乗の計算の流れ

行列$D$を以下のような対角行列として

$$
D
=
\begin{pmatrix}
a & 0 & 0 \\
0 & b & 0 \\
0 & 0 & c
\end{pmatrix}
$$

行列$D$の$n$乗は

$$
D^n
=
\begin{pmatrix}
a^n & 0 & 0 \\
0 & b^n & 0 \\
0 & 0 & c^n
\end{pmatrix}
$$

となります。このように対角行列であれば$n$乗の計算は瞬殺できます。

対角行列のこの特性を使って、対角行列ではない行列$A$の$n$乗を計算していきます。

行列$A$を対角化すると以下の式を得ました。(対角化できずにジョルダン標準形になった場合も計算の流れは同じなので、今は区別しないで進めます。)

$$
P^{-1}AP=D
$$

この式を両辺$n$乗すると

$$
(P^{-1}AP)^n=D^n
\tag{1}
$$

となります。右辺の$D$は対角行列なので$n$乗は簡単です。左辺の$(P^{-1}AP)^n$を展開して

$$
\begin{align}
(P^{-1}AP)^n
&=
(P^{-1}AP)(P^{-1}AP)(P^{-1}AP) \cdots (P^{-1}AP)
\\\\&=
P^{-1}A\cancel{PP^{-1}}A\cancel{PP^{-1}}A\cancel{P} \cdots \cancel{P^{-1}}AP
\\\\&=
P^{-1}AAA \cdots AP
\\\\&=
P^{-1}A^nP
\end{align}
$$

となります。隣り合った$PP^{-1}=E$となって式から消えていくという流れです。

この結果を式(1)に代入して

$$
P^{-1}A^nP=D^n
$$

です。左辺の$P^{-1}$と$P$を右辺に移項して

$$
A^n=PD^nP^{-1}
$$

これで$n$乗の式が求まりました。

$n$乗の計算方法3パターン

それでは具体的な計算を見ていきます。

対角化できる場合、ジョルダン標準形になる場合、ケーリー・ハミルトンの定理を使う場合の3パターンです。

このページでは対角化の計算が終わった状態からスタートします。対角化までの計算は全パターン計算のページで行っていますのでご覧ください。

Pattern1. 対角化できる場合

$$
A
=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 \\
-1 & -2 & 1 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$

行列$A$は以下の行列を用いて$P^{-1}AP=D$を満たします。

$$
\begin{array}{ccc}
P
=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
-1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
&
P^{-1}
=
\begin{pmatrix}
-1 & -2 & 1 \\
1 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
&
D
=
\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\end{array}
$$

対角行列$D$の$n$乗は

$$
D^n
=
\begin{pmatrix}
(-1)^n & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$

です。

これを$n$乗の式$A^n=PD^nP^{-1}$に代入して

$$
\begin{align}
A^n
&=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
-1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
(-1)^n & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-1 & -2 & 1 \\
1 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\\\\&=
\begin{pmatrix}
(-1)^{n+1} & 2(-1)^{n+1} & (-1)^n+1 \\
(-1)^n & 2(-1)^n & (-1)^{n+1} \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\end{align}
$$

これで$A^n$が求まりました。

試験本番では試しに$n=1$を代入して検算してみるのがオススメです。

Pattern2.ジョルダン標準形になる場合

$$
A
=
\begin{pmatrix}
-2 & -1 & -1 \\
-1 & -3 & -2 \\
0 & 1 & -1
\end{pmatrix}
$$

行列$A$は以下の行列を用いて$P^{-1}AP=J$を満たします。

$$
\begin{array}{ccc}
P
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
1 & -1 & 0 \\
-1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
&
P^{-1}
=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & -1 \\
0 & -1 & -1 \\
1 & 0 & 1
\end{pmatrix}
&
J
=
\begin{pmatrix}
-2 & 1 & 0 \\
0 & -2 & 1 \\
0 & 0 & -2
\end{pmatrix}
\end{array}
$$

対角行列$D$の$n$乗は簡単でしたが、ジョルダン標準形$J$の$n$乗は一工夫必要です。

まずはジョルダン標準形から対角行列と対角行列ではない部分に分解します。分解した行列のうち対角行列を$D$とし、対角行列ではない部分を$N$とします。

$$
\begin{array}{cc}
D
=
\begin{pmatrix}
-2 & 0 & 0 \\
0 & -2 & 0 \\
0 & 0 & -2
\end{pmatrix}
&
N
=
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\end{array}
$$

この2つの行列を用いて

$$
J=D+N
$$

と分解できます。

したがって$J$の$n$乗は以下になります。

$$
J^n=(D+N)^n
\tag{2}
$$

$DN=ND$が成り立つので、二項定理を使って展開します。

二項定理は以下の公式です。

$$
\begin{align}
(a+b)^n
&=
\sum_{k=0}^{n}
{}_n \mathrm{C}_k
a^{n-k}b^k
\\\\&=
{}_n \mathrm{C}_0 a^n b^0
+
{}_n \mathrm{C}_1 a^{n-1} b^1
+
{}_n \mathrm{C}_2 a^{n-2} b^2
+
\cdots
+
{}_n \mathrm{C}_n a^0 b^n
\end{align}
$$

行列$A,B$において$AB=BA$が成り立っている場合、二項定理を使うことができます。

$$
(D+N)^n
=
{}_n \mathrm{C}_0 D^n N^0
+
{}_n \mathrm{C}_1 D^{n-1} N^1
+
{}_n \mathrm{C}_2 D^{n-2} N^2
+
{}_n \mathrm{C}_3 D^{n-3} N^3
+
\cdots
+
{}_n \mathrm{C}_n D^0 N^n
\tag{3}
$$

前述の通り$D$の$n$乗の計算は簡単です。$N$の$n$乗は手計算で求めてみます。

$$
\begin{align}
N^0
&=
E
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\\\\
N^1
&=
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\\\\
N^2
&=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\\\\
N^3
&=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\end{align}
$$

$N^3=O$となりました。なので$N$は3乗以降は全て零行列になります。この結果を式(3)に代入して

$$
(D+N)^n
=
{}_n \mathrm{C}_0 D^n
+
{}_n \mathrm{C}_1 D^{n-1} N
+
{}_n \mathrm{C}_2 D^{n-2} N^2
\tag{4}
$$

二項定理で展開した式がすっきりしました。

正の整数$k$を用いて行列$X$を$k$乗したとき

$$
X^k=O
$$

が成り立つような行列$X$を冪零べきれい行列と呼びます。

行列$N$は冪零行列です。

ここまで来たら、各項を地道に計算していきます。

$$
\begin{align}
{}_n \mathrm{C}_0
&=
1
\\\\
{}_n \mathrm{C}_1
&=
n
\\\\
{}_n \mathrm{C}_2
&=
\displaystyle \frac{1}{2} n(n-1)
\end{align}
$$

$$
\begin{align}
D^n
&=
\begin{pmatrix}
(-2)^n & 0 & 0 \\
0 & (-2)^n & 0 \\
0 & 0 & (-2)^n
\end{pmatrix}
\\\\&=
(-2)^{n-2}
\begin{pmatrix}
4 & 0 & 0 \\
0 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 4
\end{pmatrix}
\end{align}
$$

$$
\begin{align}
D^{n-1} N
&=
\begin{pmatrix}
(-2)^{n-1} & 0 & 0 \\
0 & (-2)^{n-1} & 0 \\
0 & 0 & (-2)^{n-1}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\\\\&=
\begin{pmatrix}
0 & (-2)^{n-1} & 0 \\
0 & 0 & (-2)^{n-1} \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\\\\&=
(-2)^{n-2}
\begin{pmatrix}
0 & -2 & 0 \\
0 & 0 & -2 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\end{align}
$$

$$
\begin{align}
D^{n-2} N^2
&=
\begin{pmatrix}
(-2)^{n-2} & 0 & 0 \\
0 & (-2)^{n-2} & 0 \\
0 & 0 & (-2)^{n-2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\\\\&=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & (-2)^{n-2} \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\\\\&=
(-2)^{n-2}
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\end{align}
$$

これらを式(4)に代入して

$$
(D+N)^n
=
(-2)^{n-2}
\begin{pmatrix}
4 & -2n & \displaystyle \frac{1}{2} n(n-1) \\
0 & 4 & -2n \\
0 & 0 & 4
\end{pmatrix}
$$

きれいになるように調整してあげて

$$
(D+N)^n
=
(-2)^{n-3}
\begin{pmatrix}
-8 & 4n & -n^2+n \\
0 & -8 & 4n \\
0 & 0 & -8
\end{pmatrix}
$$

これを式(2)に代入して

$$
J^n
=
(-2)^{n-3}
\begin{pmatrix}
-8 & 4n & -n^2+n \\
0 & -8 & 4n \\
0 & 0 & -8
\end{pmatrix}
$$

これを$n$乗の式$A^n=PJ^nP^{-1}$に代入して

$$
\begin{align}
A^n
&=
(-2)^{n-3}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
1 & -1 & 0 \\
-1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-8 & 4n & -n^2+n \\
0 & -8 & 4n \\
0 & 0 & -8
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 0 & -1 \\
0 & -1 & -1 \\
1 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\\\\&=
(-2)^{n-3}
\begin{pmatrix}
-n^2+n-8 & -4n & -n^2-3n \\
-n^2-3n & -4n-8 & -n^2-7n \\
n^2-n & 4n & n^2+3n-8
\end{pmatrix}
\end{align}
$$

これで$A^n$が求まりました。

Pattern3. ケーリー・ハミルトンの定理を使う場合

ケーリー・ハミルトンの定理は行列の次数を下げるときに便利な定理です。

ケーリー・ハミルトンの定理

行列$A$の固有方程式$\det (A-\lambda E)$を$\phi(\lambda)$としたとき以下の式が成り立ちます。

$$
\phi(A)=O
$$

これがケーリー・ハミルトンの定理です。

2次の行列$A$を例に定理の使い方を見ていきます。

$$
A
=
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix}
$$

とすると固有方程式は

$$
\begin{align}
\det (A-\lambda E)
&=
\begin{vmatrix}
a-\lambda & b \\
c & d-\lambda \\
\end{vmatrix}
\\\\&=
(a-\lambda)(d-\lambda)-bc
\end{align}
$$

よって

$$
\phi(\lambda)=(a-\lambda)(d-\lambda)-bc
$$

として

$$
\begin{align}
\phi(A)
&=
(a-A)(d-A)-bc
\\\\&=
A^2-(a+d)A+(ad-bc)E
\end{align}
$$

となるので、ケーリー・ハミルトンの定理より

$$
A^2-(a+d)A+(ad-bc)E
=
O
$$

となります。この結果を使えば

$$
A^2
=
(a+d)A-(ad-bc)E
$$

このように$A$の2次式から1次式へ次数を下げることができます。

さて、定理を勉強したところで計算に戻ります。

$$
A
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 \\
1 & -2 & 1 \\
1 & -1 & 0
\end{pmatrix}
$$

行列$A$は以下の行列を用いて$P^{-1}AP=J$を満たします。

$$
\begin{array}{ccc}
P
=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
3 & 1 & 0 \\
2 & 1 & 0
\end{pmatrix}
&
P^{-1}
=
\begin{pmatrix}
0 & 1 & -1 \\
0 & -2 & 3 \\
1 & 1 & -2
\end{pmatrix}
&
J
=
\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\end{array}
$$

この行列$A$の固有方程式は

$$
\phi(\lambda)
=
-(\lambda+1)\lambda^2
$$

なのでケーリー・ハミルトンの定理より

$$
A^3+A^2=O
$$

となります。右辺に移項して

$$
A^3=-A^2
$$

となるので

$$
\begin{align}
A^3&=-A^2
\\\\
A^4&=A^3A=-A^2A=-A^3=A^2
\\\\
A^5&=A^4A=A^2A=A^3=-A^2
\\\\
A^6&=A^5A=-A^2A=-A^3=A^2
\\\\
\vdots
\end{align}
$$

ここらへんまで計算すれば$A^n=(-1)^nA^2$だと推測できるので、数学的帰納法で証明します。

まず$A^2$から計算します。

$$
\begin{align}
A^2
&=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 \\
1 & -2 & 1 \\
1 & -1 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 \\
1 & -2 & 1 \\
1 & -1 & 0
\end{pmatrix}
\\\\&=
\begin{pmatrix}
0 & 1 & -1 \\
0 & 3 & -3 \\
0 & 2 & -2
\end{pmatrix}
\end{align}
$$

$n=k$のとき以下の式が成り立つと仮定します。

$$
A^k
=
(-1)^k
\begin{pmatrix}
0 & 1 & -1 \\
0 & 3 & -3 \\
0 & 2 & -2
\end{pmatrix}
$$

$n=k+1$のとき

$$
\begin{align}
A^{k+1}
&=
A^kA
\\\\&=
(-1)^k
\begin{pmatrix}
0 & 1 & -1 \\
0 & 3 & -3 \\
0 & 2 & -2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 \\
1 & -2 & 1 \\
1 & -1 & 0
\end{pmatrix}
\\\\&=
(-1)^k
\begin{pmatrix}
0 & -1 & 1 \\
0 & -3 & 3 \\
0 & -2 & 2
\end{pmatrix}
\\\\&=
(-1)^{k+1}
\begin{pmatrix}
0 & 1 & -1 \\
0 & 3 & -3 \\
0 & 2 & -2
\end{pmatrix}
\end{align}
$$

となります。これで証明終了です。

以上より

$$
A^n
=
\left\{
\begin{array}{ll}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 \\
1 & -2 & 1 \\
1 & -1 & 0
\end{pmatrix}
&
n=1
\\\\
(-1)^{n}
\begin{pmatrix}
0 & 1 & -1 \\
0 & 3 & -3 \\
0 & 2 & -2
\end{pmatrix}
&
n \geq 2
\end{array}
\right.
$$

これで$A^n$が求まりました。

まとめ

行列の$n$乗は以下の式から求めます。

$$
A^n=PD^nP^{-1}
$$

ジョルダン標準形は対角行列と冪零行列に分解して計算するか、ケーリー・ハミルトンの定理と数学的帰納法を組み合わせて計算します。

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