対称行列の対角化

こんにちはコーヤです。

このページでは直交行列を使用して対称行列の対角化を行います。対角化の特殊な場合で、主軸変換に応用されます。

対称行列の対角化の概要

普通の行列の対角化は以下の4ステップで計算できます。

ステップ2では$n$次の行列は$n$個の固有ベクトルないと対角化できないという判定を行いました。

それに対し対称行列$S$は必ず$n$個の固有ベクトルを持ちます。つまり対称行列$S$は必ず対角化できます。

さらにステップ3の変換行列$P$を作る工程で、対称行列$S$は普通の変換行列$P$でも対角化可能だし、直交行列$U$でも対角化可能です。

このページでは、対称行列$S$を直交行列$U$で対角化する計算方法を勉強します。（ページの最後で普通の変換行列$P$で対角化した場合と比較します。）

対称行列・直交行列の性質

対角化に入る前に対称行列と直交行列の性質を勉強しておきます。これらの性質を知っているとスムーズに計算できると思います。

対称行列$S$は

を満たす行列のことです。${}^{t}S$は転置を表します。

直交行列$U$は

を満たす行列のことです。$U^{-1}$は$U$の逆行列です。

直交行列を用いない対角化では変換行列$P$を用いて$P^{-1}AP=D$という形になりましたが、直交行列を用いた対角化では${}^{t}USU=D$となります。

正規化の計算方法

直交行列を作るときに正規化の計算が必要です。正規化とはノルムを1に揃えることです。

$\mathit{v}$のノルムは以下のように定義されています。

ベクトル$\mathit{v}$を正規化したベクトルを$\mathit{u}$とすると

となります。

対角化計算の具体例

では具体的な計算を見ていきます。対角化の4ステップに沿ってやっていきます。

今回は以下の対称行列を対角化します。

Step1. 固有値と固有ベクトルを求める

行列$S$の固有方程式は

これより固有値、固有ベクトルは

です。

Step2. 対角化可能か判定する

対称行列は必ず対角化可能です。判定の必要はありません。

対角行列$D$は

となります。

Step3. 直交行列$U$を作る

直交行列$U$の作り方は変換行列$P$の作り方とだいたい同じですが、媒介変数の値をテキトーに決めてはいけません。固有ベクトルを正規化するように媒介変数の値を決めます。正規化しないと${}^{t}U=U^{-1}$を満たさなくなってしまうのが理由です。

まずは${\mathit{v}}_1$を正規化します。

${\mathit{v}}_1$のノルム$\Vert {\mathit{v}}_1\Vert$は

です。${\mathit{v}}_1$を正規化したベクトルを${\mathit{u}}_1$とすると

となります。

同様に${\mathit{v}}_2$も正規化します。

なので

となります。

したがって直交行列$U$は

となります。

Step4. 転置行列${}^{t}U$を作る

$U$の転置行列${}^{t}U$を用意します。

です。

最終的に対角化の式${}^{t}USU=D$に代入して

となり対角化完了です。

直交行列を使わずに対角化

固有ベクトルを正規化して直交行列$U$を作りましたが、正規化せずに計算した場合を見てみましょう。

$k_1=k_2=1$として変換行列$P$を作ったとすると

となるので対角化の式$P^{-1}AP=D$に代入して

正規化した場合と全く同じ対角化の結果となりました。

まとめ

対称行列$S$は直交行列$U$で対角化可能です。

対角化の式は以下の式です。