こんにちはコーヤです。
このページでは、2変数関数の極値の計算方法を勉強します。2変数関数では極値に似た鞍点という点が存在し、線形代数の知識を使うと極値と鞍点を判定できます。
停留点の条件
2変数関数
となり、これを満たす点を停留点といいます。
停留点には極大値、極小値、鞍点、それ以外の4種類の点があります。
![](https://darts25.com/wp-content/uploads/2022/11/9670dc471b3a4a2d85056aee909c37c4-2-1024x576.jpeg)
![](https://darts25.com/wp-content/uploads/2022/11/3d27043b9754699244b7a6bc999d3aa9-2-1024x576.jpeg)
極大値と極小値は1変数関数のときと同じイメージです。どの方向から見ても極値の点を境目に1階導関数の符号が変化します。
鞍点は1変数関数のときは登場しませんでした。ある方向から見ると極大値っぽく見えても別の方向から見ると極小値っぽく見える点のことです。
それ以外の点について、1変数関数
停留点の判定方法
極大値、極小値、鞍点の判定方法は、以下のヘッセ行列
この行列式
なら極値 もしくは なら極小値 もしくは なら極大値
なら鞍点 のときは判定不能
となります。
![](https://darts25.com/wp-content/uploads/2021/06/2dd40c116bfdacd6dde4a57397a77a41.jpeg)
極値と鞍点の計算3ステップ
それでは極値と鞍点の計算の具体例を見ていきます。3ステップです。
- 停留点を求める
- ヘッセシアンを求める
- 極値か鞍点か判定する
以下の2変数関数
ステップ1. 停留点を求める
1階偏導関数を計算して
となります。
より
これより
ステップ2. ヘッセシアンを求める
2階偏導関数を計算して
となります。ヘッセシアンは
となります。
ステップ3. 極値か鞍点か判定する
停留点
判定方法の導出
ヘッセシアンで極値や鞍点が判定でき、
点
![](https://darts25.com/wp-content/uploads/2022/11/c41c92958b9ec2cbab86bec90a261443-2-1024x576.jpeg)
図のように、停留点が極値だった場合の断面図は楕円、停留点が鞍点だった場合の断面図は双曲線、というふうに判定できます。
断面図の式が計算しやすくなるように
ここで点
これをテイラー展開の式へ代入して
となります。ここで式を見やすくするために
とすると
と書けます。この2変数関数の
切る平面の座標ですが、適当な定数
で切るとします。その断面図の式は
と書けます。両辺を整理して
これが断面図の式です。この関数が楕円か双曲線化を判定すればゴールです。
断面図の式がどんな図形か見分けるために、主軸変換を行って式を見やすくします。
主軸変換は図形を見やすくなるように回転させる計算です。計算式の意味が知りたい方は主軸変換のページをご覧ください。
断面図の式を対称行列を用いて書くと
となります。ここで対称行列の対角化計算を行い
このように表される対角行列
が成り立つとします。
次に変換前の
とすると、式(2)は
と変形できます。
式(3)は
以上で楕円と双曲線の判定ができたので、
この式を満たす
以上より
のとき断面図は楕円になるので
のとき断面図は双曲線になるので
次に極大極小の判定について考えます。
式(1)を
これは
2階導関数を計算して
これより
でしたので、
式(1)を
式(1)を
ヘッセシアンでは判定不能の場合の判定方法
前述の通り
以下の2変数関数
普段どおりヘッセシアンを求めて、
計算3ステップを再掲します。
- 停留点を求める
- ヘッセシアンを求める
- 極値か鞍点か判定する
- 判定不能の点を調べる
ステップ1. 停留点を求める
1階偏導関数を計算して
となります。
これより
ここで最後の項を平方完成すると
となるので、
を満たす
ステップ2. ヘッセシアンを求める
2階偏導関数を計算して
となります。ヘッセシアンは
となります。
ステップ3. 極値か鞍点か判定する
停留点
ステップ4. 判定不能の点を調べる
鞍点はある方向から見ると極大値っぽく見えるが別の方向から見ると極小値っぽく見える点のことでした。
それでは計算しましょう。
となります。これは
![](https://darts25.com/wp-content/uploads/2022/11/ae790b3d371d74adf190db9258a46b7c-1024x576.jpeg)
グラフより
つまり
次に
となります。これは
![](https://darts25.com/wp-content/uploads/2022/11/3c22c260b893ba8b7e5b8f7fb9ef871a-1024x576.jpeg)
グラフより
つまり
以上の結果より
なお、
![](https://darts25.com/wp-content/uploads/2022/11/7eab75c618aed75384a23b8c6d60fa50-1024x576.jpeg)
まとめ
2変数関数の極値と鞍点の判定はヘッセシアン
なら極値 もしくは なら極小値 もしくは なら極大値
なら鞍点 のときは判定不能
計算方法は以下の3ステップです。
- 停留点を求める
- ヘッセシアンを求める
- 極値か鞍点か判定する
コメント欄