こんにちはコーヤです。
このページでは同次連立1次方程式の解と自由度の関係を勉強します。線形独立の判定、固有ベクトル、核空間などの場面で必要な線形代数の重要な知識です。
同次・非同次の分類
同次と非同次は右辺が全部0かどうかで分類されます。
上の2式は同次連立1次方程式、下の2式は非同次連立1次方程式です。
このページでは同次連立1次方程式を扱います。非同次連立1次方程式は次のページで勉強します。
解ける式と解けない式
同次連立1次方程式には解ける式と解けない式があります。それぞれ具体例を見ていきます。
まずは解ける同次連立1次方程式です。
次に解けない同次連立1次方程式です。
無理やり解を出すなら任意定数
厳密には「解けない」わけではありませんが「解が定まらない」ということです。
これを踏まえて読み進めるとスムーズにいくと思います。
自由度の求め方
未知数の数から係数行列のランクを引いたのが自由度です。
さっきの例を使って自由度を求めます。
解ける例
これを行列の形に変更して
こうなります。
係数行列
とすると
この同次連立1次方程式は未知数の数は
自由度は未知数の数からランクを引いたものなので、自由度0です。
解けない例
これを行列の形に変更して
こうなります。
係数行列
とすると
この同次連立1次方程式は未知数の数は
自由度は未知数の数からランクを引いたものなので、自由度1です。
解と自由度の関係
自由度は解の任意定数の個数を表します。
この同次連立1次方程式の自由度は0でした。
解は
この同次連立1次方程式の自由度は1でした。
解は
2つの例を見ると、たしかに自由度と解の任意定数の個数が一致しています。
グラフで見比べればさらに自由度のイメージが付きやすいと思います。
同次連立1次方程式の具体例
それでは具体例3つで同次連立1次方程式の解を求める練習をしましょう。
具体例1
この同次連立1次方程式の解を求めます。行列形式に変形して
係数行列を階段行列に変形してランクを求めると
この行列はランク3です。未知数の数は
つまり任意定数を使わずに解が求まります。
階段行列を使って式を書くと
行列形式から普通の方程式の形に変形して
となります。この連立1次方程式を普通に解いて
となります。
具体例2
この同次連立1次方程式の解を求めます。行列形式に変形して
係数行列を階段行列に変形してランクを求めると
この行列はランク2です。未知数の数は
自由度が1ということは、任意定数1個で解が表せるということです。
階段行列を使って式を書くと
行列形式から普通の方程式の形に変形して
となります。ここで任意定数
よって
となります。
具体例3
この同次連立1次方程式の解を求めます。行列形式に変形して
係数行列を階段行列に変形してランクを求めると
この行列はランク1です。未知数の数は
自由度が2ということは、任意定数2個で解が表せるということです。
階段行列を使って式を書くと
行列形式から普通の方程式の形に変形して
となります。ここで任意定数
よって
となります。
まとめ
未知数の数から係数行列のランクを引いたものが自由度です。
自由度は解の任意定数の個数を表しています。
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