こんにちはコーヤです。
このページでは線形代数の鬼門である線形空間の性質を勉強します。
線形空間の勉強の前に
線形空間の分野はどうしても抽象的な話になってしまいます。しかも急に難解な言葉が使われるようになり、線形空間を定義する目的もいまいちハッキリしません。難しく感じる原因の詰め合わせみたいな分野です。
私も大学生のとき、この分野が理解できずに投げ出しました。ある程度線形代数の全体像を把握できてからもう一度勉強し直してようやくぼんやりと分かるようになりました。
このページで線形空間と初対面の方は意味が分からないままかもしれません。今は分からなくても流し読みして次の分野に進みましょう。対角化やジョルダン標準形の勉強が終わってから、いつかこのページに帰ってきたときにもう一度じっくり勉強すれば大丈夫です。
用語の意味
と言いつつも、せめて用語の意味だけでも理解した状態で流し読みしたいので、よく出てくる言葉とその具体的な意味を示しておきます。
集合
いろんな数が集まったものを集合と言います。
集合
集合の中身を
ややこしい見た目になりましたが、式を1個ずつ見れば意味は伝わると思います。
では以下の集合
集合
整数とベクトルを例に挙げましたが、分数でも関数でも行列でも集合になります。
元
「げん」と読みます。集合の中身1個1個のことを表す言葉です。
7は集合
線形空間の条件2つ
集合
その特別な条件を満たすかどうか調べるために集合
- 和の演算とスカラー倍の演算が定義されているか
- 演算の性質8つ全て成り立つか
この2つのフィルターを突破すれば集合
ではフィルターの中身を詳しく見ていきましょう。
Filter1. 和の演算とスカラー倍の演算が定義されているか
Filter1-1. 和の演算
まずは和の演算から見ていきます。
集合
集合
Filter1-2. スカラー倍の演算
次にスカラー倍の演算です。
あるスカラー
集合
といきたいところですが、任意の元と任意のスカラーで成り立っていないとダメです。集合
「任意の」という表現が分かりにくい人は、「全ての」「あらゆるパターンの」と変換してください。
集合
Filter2. 演算の性質8つ全て成り立つか
次のフィルターです。和の演算とスカラー倍の演算に対して、以下の性質8個が全て成り立っていることを確認しないといけません。
集合
Filter2-1
和の結合法則を満たすか調べます。
が成り立てばOKです。
Filter2-2
和の交換法則を満たすか調べます。
が成り立てばOKです。
Filter2-3
零ベクトルとの和を調べます。
このような性質を満たす
- 零ベクトルが集合
の元であること - 集合
の元に零ベクトルの性質を満たすものが1つだけであること
の2つが成り立てばOKです。
Filter2-4
逆ベクトルとの和を調べます。
このような性質を満たす
- 逆ベクトルが集合
の元であること - 集合
の元に逆ベクトルの性質を満たすものが1つだけであること
の2つが成り立てばOKです。
Filter2-5
スカラー1による演算結果を調べます。
が成り立てばOKです。
Filter2-6
和の分配法則を満たすか調べます。
が成り立てばOKです。
Filter2-7
スカラー倍の分配法則を満たすか調べます。
が成り立てばOKです。
Filter2-8
スカラー倍の結合法則を満たすか調べます。
が成り立てばOKです。
ズラーっと書いてきましたがやっと終わりです。
結果だけ書きますが集合
線形空間の具体例
集合が出てくるたびに線形空間かどうか調べていると日が暮れてしまうので、よく出てくる線形空間を挙げておきます。
平面
の集合なので2次元列ベクトル空間
空間
3次元空間も線形空間です。
の集合なので3次元列ベクトル空間
次元列ベクトル
上記の平面と空間を拡張したものも線形空間です。
の集合なので
実数全体
実数全体は線形空間です。
冒頭の例の
多項式
例えば2次多項式の関数
行列
例えば2次正方行列
線形空間を定義する目的
なんのために線形空間なんて定義して面倒くさい計算をやっているんでしょうか?
私もハッキリとした答えは分かりませんが、未知の数が出現したときに備えたい、というのが目的の1つだと思います。
中学生までは
高校生で習ったベクトルの内積は
もし行列や複素ベクトルよりもっとスゴイ数が出現した時、私たちが当然だと思っている性質も成り立たない可能性があります。
スゴイ数の性質を調べるときに手探りで闇雲に調べたら大変ですが、線形空間のルールを知っていればスゴイ数が線形空間かどうかで分類できます。他にも様々な分類を行えばスゴイ数の性質が求められるかもしれませんね。
線形空間を定義する目的、線形空間のありがたさ、などなどご存知の方がいらっしゃいましたら教えていただけますと幸いです。
まとめ
線形空間は以下2つの性質を満たす集合のことです。
- 和の演算とスカラー倍の演算が定義されている
- 演算の性質8つ全て成り立つ
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