部分空間と和空間の性質

こんにちはコーヤです。

このページでは線形空間の一部分を切り取った部分空間の性質と、部分空間を組み合わせて作る和空間の性質を勉強をします。

部分空間の作り方

線形空間Vのテキトーな元をいくつか拾ってきて、その元を線形結合したものを部分空間Wと言います。

線形空間Vの元a1,a2anと実数c1,c2cnを用いて以下のように表されます。

W={ww=c1a1+c2a2++cnan}

式だけだと伝わりにくいので具体例を見ていきます。

例えば線形空間Vを2次元列ベクトル空間R2だとしてテキトーな元を拾ってきます。

今回はf1を拾ったとします。f1は以下のような元です。

f1=(21)

このf1の線形結合したものが部分空間F1です。

F1={ww=c1f1}

ではwがどのような値をとるのか計算していきます。

w=(xy)

とします。

w=c1f1

を方程式の形に変形して

x=2c1y=c1

c1は自由な値が取れるので

x2y=0

という関係が導けます。

以上よりf1がつくる部分空間F1x2y=0の直線です。

部分空間

たしかにF1f1c1倍した空間になっています。

部分空間の条件

ある空間が部分空間かどうか判断するために確認するべきポイントは1個だけです。

Wの任意の元b1,b2と任意の実数λ,μを用いて

λb1+μb2W

が成り立っていればOKです。

それではF1が本当に部分空間かどうか調べてみます。F1から任意の元を2つ拾ってきます。

fi=(xiyi)fj=(xjyj)

この2つを拾ってきました。これらはF1から拾ってきた元なので

xi2yi=0xj2yj=0

を満たします。それでは実数λ,μを用いて部分空間かどうか判断します。

λfi+μfj=λ(xiyi)+μ(xjyj)=(λxi+μxjλyi+μyj)

これがF1に含まれていることが確認できればOKです。F1に含まれてるかどうかはx2y=0の直線状にいるかどうかで確認できます。

x2y=(λxi+μxj)2(λyi+μyj)=λ(xi2yi)+μ(xj2yj)=λ(0)+μ(0)=0

となります。これでλfi+μfjWが示せたのでF1は部分空間だと証明できました。

部分空間かどうかを判断するとき、いちいち計算するのは面倒なのでよく出る例だけ紹介します。

部分空間の大事なポイントとして

  • 原点を通らない空間は部分空間にはなりません。
  • 部分空間は元の空間と一致してもOKです。
  • 部分空間は零ベクトルだけでも大丈夫です。

以上をふまえて

  • 線形空間R2の部分空間は、R2そのもの、原点を通る直線全て、原点、の3種類になります。
  • 線形空間R3の部分空間は、R3そのもの、原点を通る平面全て、原点を通る直線全て、原点、の4種類になります。

和空間の作り方と和集合との違い

R2から拾ってきたf1で作った部分空間がF1でした。

R2から別の元f2を拾ってきて、それで作った部分空間をF2とします。

f2=(11)

とすると部分空間F2x+y=0の直線になります。

部分空間

ここでF1F2の和集合F1F2の空間を考えます。F1F2は線形空間の性質を満たすでしょうか。

部分空間の和集合

グラフを見ると分かる通りf1f2F1F2の元ですが、和の演算を行ったf1+f2F1F2の元ではなくなってしまいました。

和の演算が定義できないためF1F2は線形空間ではありません。一般的に線形空間の和集合は線形空間ではなくなることが多いです。

これだと困ってしまうので、和集合F1F2の代わりに和空間F1+F2を以下のように定義します。

F1+F2={rr=p+q,pF1,qF2}

このように定義すれば和空間は線形空間の性質を満たすうえ、以下の公式まで作れます。

dim(F1+F2)=dimF1+dimF2dim(F1F2)

今回の例だとF1F2は直線なのでdimF1=dimF2=1です。F1F2F1F2の積集合なので原点のみです。さっきのグラフを見てもF1F2が被る部分は原点しかないことが分かります。よってdim(F1F2)=0です。

これを公式に当てはめてdim(F1+F2)=2です。F1F2の和空間は2次元空間だと分かりました。

F1+F2F1F2を含むような2次元空間です。

和空間

和空間の広げ方

f1で作った部分空間F1f2で作った部分空間F2について見てきました。

今度はR2の元f3を拾ってきて、部分空間F3を作ります。

f3=(12)

とすると部分空間F32xy=0の直線になります。

部分空間

ここで和空間F1+F2+F3を考えてみます。

すでに求めているF1+F2の和空間をF12と表します。するとF1+F2+F3F12+F3と表せます。それでは和空間の公式を使ってF12+F3の次元を求めます。

dim(F12+F3)=dimF12+dimF3dim(F12F3)=2+11=2

F12+F3の和空間は2次元空間です。でもF12も2次元空間でしたね。足しても足さなくても答えが変わらないのでF3を足すのは無意味だったみたいです。

ではここで視点を変えてみます。

1次元空間F1,F2,F3の3つが与えられて、これらの和空間が2次元空間になるように式を立ててみます。例えば以下の5式はどうでしょうか?

(1)F1+F2(2)F1+F3(3)F2+F3(4)F1+F2+F3(5)F1+F1+F2+F2+F3+F3

5式とも2次元空間になるので正解です。

しかし、さっき計算したとおり(4)式はスマートな表現ではありません。F3を足さなくても2次元空間が作れているので、無駄な計算をわざわざ書いています。

(5)式はあきらかに無駄な計算をしていることが分かります。それでも2次元空間になるので正解となってしまいます。

逆に(1),(2),(3)式は必要最低限で無駄のない表現です。

ここで直和という表現が登場します。無駄のない和空間の広げ方を直和といい、無駄のある和空間の広げ方と区別するために+に変えて表現します。

直和をふまえて5式を書き直すと

(1)F1F2(2)F1F3(3)F2F3(4)F1+F2+F3(5)F1+F1+F2+F2+F3+F3

となります。

直和のときは和空間の公式が簡単になります。(1)式を例にすると

dim(F1+F2)=dimF1+dimF2

と書き換えることができます。直和のときは積集合の次元が0になるので、引き算の部分がなくなります。

まとめ

線形空間Vの部分集合かつ線形空間の性質を満たすものを部分空間Wといいます。

部分空間の足し算を和空間と定義します。無駄のない和空間の広げ方を直和と言います。

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