面積と曲線の長さの計算方法

こんにちはコーヤです。

このページでは、面積と曲線の長さの計算方法を勉強します。陽関数表示、媒介変数表示、極座標表示の3パターンです。

面積と曲線の長さの公式

陽関数表示、媒介変数表示、極座標表示の3パターンにおいて、面積$S$と曲線の長さ$L$を以下のように決めます。

このとき、それぞれの表示形式において面積$S$と曲線の長さ$L$の公式は以下の式です。

陽関数表示の公式

$$
\begin{align}
S
&=
\displaystyle\int_a^b
f(x)
~dx
\\\\
L
&=
\displaystyle\int_a^b
\sqrt{1+f'(x)^2}
~dx
\end{align}
$$

媒介変数表示の公式

$$
\begin{align}
S
&=
\displaystyle\int_p^q
f'(t)g(t)
~dt
\\\\
L
&=
\displaystyle\int_p^q
\sqrt{f'(t)^2+g'(t)^2}
~dt
\end{align}
$$

極座標表示の公式

$$
\begin{align}
S
&=
\displaystyle\frac{1}{2}
\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}
f(\theta)^2
~d\theta
\\\\
L
&=
\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}
\sqrt{f(\theta)^2+f'(\theta)^2}
~d\theta
\end{align}
$$

それでは例題で計算しましょう。

面積と曲線の長さの例題

陽関数表示の例題

$$
\begin{array}{cc}
y=f(x)=\cosh x
&
(0\leq x\leq \log 2)
\end{array}
$$

この関数の面積$S$と曲線の長さ$L$を計算します。

まずは面積$S$の計算です。

$$
\begin{align}
S
&=
\displaystyle\int_0^{\log 2}
f(x)
~dx
\\\\&=
\displaystyle\int_0^{\log 2}
\cosh x
~dx
\\\\&=
\left[
\sinh x
\right]_0^{\log 2}
\\\\&=
\sinh (\log 2)
\\\\&=
\displaystyle\frac{3}{4}
\end{align}
$$

次に曲線の長さ$L$の計算です。

$$
f'(x)
=
\sinh x
$$

より

$$
\begin{align}
L
&=
\displaystyle\int_0^{\log 2}
\sqrt{1+f'(x)^2}
~dx
\\\\&=
\displaystyle\int_0^{\log 2}
\sqrt{1+\sinh^2 x}
~dx
\\\\&=
\displaystyle\int_0^{\log 2}
\sqrt{\cosh^2 x}
~dx
\\\\&=
\displaystyle\int_0^{\log 2}
|\cosh x|
~dx
\\\\&=
\displaystyle\int_0^{\log 2}
\cosh x
~dx
\\\\&=
\displaystyle\frac{3}{4}
\end{align}
$$

途中の絶対値が出てくる式は、$0\leq x\leq \log 2$の範囲で$\cosh x >0$なので絶対値が外れます。

最後の積分計算は面積$S$と同じ積分なので計算過程を省略しました。

媒介変数表示の例題

$$
\begin{array}{cc}
\begin{array}{l}
x=f(t)=t-\sin t
\\
y=g(t)=1-\cos t
\end{array}
&
(0\leq t\leq 2\pi)
\end{array}
$$

この関数の面積$S$と曲線の長さ$L$を計算します。サイクロイドと呼ばれる関数です。

まずは面積$S$の計算です。

$$
f'(t)
=
1-\cos t
$$

より

$$
\begin{align}
S
&=
\displaystyle\int_0^{2\pi}
f'(t)g(t)
~dt
\\\\&=
\displaystyle\int_0^{2\pi}
(1-\cos t)(1-\cos t)
~dt
\\\\&=
\displaystyle\int_0^{2\pi}
1-2\cos t+\cos^2 t
~dt
\\\\&=
\displaystyle\frac{1}{2}
\displaystyle\int_0^{2\pi}
\cos 2t-4\cos t+3
~dt
\\\\&=
\displaystyle\frac{1}{2}
\left[
\displaystyle\frac{1}{2}\sin 2t-4\sin t+3t
\right]_0^{2\pi}
\\\\&=
3\pi
\end{align}
$$

次に曲線の長さ$L$の計算です。

$$
g'(t)
=
\sin t
$$

より

$$
\begin{align}
L
&=
\displaystyle\int_0^{2\pi}
\sqrt{f'(t)^2+g'(t)^2}
~dt
\\\\&=
\displaystyle\int_0^{2\pi}
\sqrt{(1-\cos t)^2+\sin ^2t}
~dt
\\\\&=
\displaystyle\int_0^{2\pi}
\sqrt{2-2\cos t}
~dt
\\\\&=
\displaystyle\int_0^{2\pi}
\sqrt{4\sin^2 \displaystyle\frac{t}{2}}
~dt
\\\\&=
\displaystyle\int_0^{2\pi}
\left|2\sin \displaystyle\frac{t}{2}\right|
~dt
\\\\&=
\displaystyle\int_0^{2\pi}
2\sin \displaystyle\frac{t}{2}
~dt
\\\\&=
\left[
-4\cos \displaystyle\frac{t}{2}
\right]_0^{2\pi}
\\\\&=
8
\end{align}
$$

途中の絶対値が出てくる式は、$0\leq t\leq 2\pi$の範囲で$\sin \displaystyle\frac{t}{2} >0$なので絶対値が外れます。

極座標表示の例題

$$
\begin{array}{cc}
r=f(\theta)=1+\cos\theta
&
(0\leq \theta\leq \pi)
\end{array}
$$

この関数の面積$S$と曲線の長さ$L$を計算します。カージオイドと呼ばれる関数です。

まずは面積$S$の計算です。

$$
\begin{align}
S
&=
\displaystyle\frac{1}{2}
\displaystyle\int_{0}^{\pi}
f(\theta)^2
~d\theta
\\\\&=
\displaystyle\frac{1}{2}
\displaystyle\int_{0}^{\pi}
(1+\cos\theta)^2
~d\theta
\\\\&=
\displaystyle\frac{1}{4}
\displaystyle\int_{0}^{\pi}
\cos 2\theta +4\cos\theta +3
~d\theta
\\\\&=
\displaystyle\frac{1}{4}
\left[
\displaystyle\frac{1}{2}\sin 2\theta +4\sin\theta +3\theta
\right]_{0}^{\pi}
\\\\&=
\displaystyle\frac{3}{4}\pi
\end{align}
$$

次に曲線の長さ$L$の計算です。

$$
f'(\theta)
=
-\sin\theta
$$

より

$$
\begin{align}
L
&=
\displaystyle\int_{0}^{\pi}
\sqrt{f(\theta)^2+f'(\theta)^2}
~d\theta
\\\\&=
\displaystyle\int_{0}^{\pi}
\sqrt{(1+\cos\theta)^2+(-\sin\theta)^2}
~d\theta
\\\\&=
\displaystyle\int_{0}^{\pi}
\sqrt{2+2\cos\theta}
~d\theta
\\\\&=
\displaystyle\int_{0}^{\pi}
\sqrt{4\cos^2 \displaystyle\frac{\theta}{2}}
~d\theta
\\\\&=
\displaystyle\int_{0}^{\pi}
\left|2\cos \displaystyle\frac{\theta}{2}\right|
~d\theta
\\\\&=
\displaystyle\int_{0}^{\pi}
2\cos \displaystyle\frac{\theta}{2}
~d\theta
\\\\&=
\left[
4\sin\displaystyle\frac{\theta}{2}
\right]_{0}^{\pi}
\\\\&=
4
\end{align}
$$

途中の絶対値が出てくる式は、$0\leq \theta\leq \pi$の範囲で$\cos \displaystyle\frac{\theta}{2} \geq 0$なので絶対値が外れます。

公式の導出

それぞれの公式の導出を行います。

陽関数表示の公式の導出

まず面積$S$の公式を導出します。

直接$\Delta S$を計算することはできないので、はさみうちで評価します。

$\Delta S$より小さい面積として、幅$\Delta x$で高さ$y-\Delta y$の長方形があります。

$\Delta S$より大きい面積として、幅$\Delta x$で高さ$y$の長方形があります。

よって

$$
(y-\Delta y)\Delta x
<
\Delta S
<
y\Delta x
$$

とはさみうちができます。不等式を整理して

$$
y-\Delta y
<
\displaystyle\frac{\Delta S}{\Delta x}
<
y
$$

ここで$\Delta x\to 0$のとき$\Delta y\to 0$なので

$$
y
<
\displaystyle\frac{dS}{dx}
<
y
$$

となります。よって

$$
\displaystyle\frac{dS}{dx}
=
y
$$

両辺を$a\leq x\leq b$の範囲の$x$で積分して

$$
S
=
\displaystyle\int_a^b
y
~dx
$$

となります。

次に曲線の長さ$L$の公式を導出します。

$\Delta L$を直線だと近似して、三平方の定理より

$$
\begin{align}
\Delta L
&\simeq
\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}
\\\\&=
\sqrt{1+\left(\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^2}
\Delta x
\end{align}
$$

$\Delta x$を移項して

$$
\displaystyle\frac{\Delta L}{\Delta x}
\simeq
\sqrt{1+\left(\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^2}
$$

ここで$\Delta x\to 0$のとき

$$
\displaystyle\frac{dL}{dx}
=
\sqrt{1+\left(\displaystyle\frac{dy}{dx}\right)^2}
$$

両辺を$a\leq x\leq b$の範囲の$x$で積分して

$$
L
=
\displaystyle\int_a^b
\sqrt{1+\left(\displaystyle\frac{dy}{dx}\right)^2}
~dx
$$

となります。

媒介変数表示の公式の導出

面積$S$の公式は陽関数の公式の変数を$x=f(t)$と置換すれば求まります。

$$
\begin{align}
S
&=
\displaystyle\int_a^b
y
~dx
\\\\&=
\displaystyle\int_p^q
y
\displaystyle\frac{dx}{dt}
~dt
\end{align}
$$

曲線の長さ$L$の公式も陽関数のときと同じような計算です。

三平方の定理より

$$
\begin{align}
\Delta L
&\simeq
\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}
\\\\&=
\sqrt{\left(\displaystyle\frac{\Delta x}{\Delta t}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta t}\right)^2}
\Delta t
\end{align}
$$

$\Delta t$を移項して

$$
\displaystyle\frac{\Delta L}{\Delta t}
\simeq
\sqrt{\left(\displaystyle\frac{\Delta x}{\Delta t}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta t}\right)^2}
$$

ここで$\Delta t\to 0$のとき

$$
\displaystyle\frac{dL}{dt}
=
\sqrt{\left(\displaystyle\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{dy}{dt}\right)^2}
$$

両辺を$p\leq t\leq q$の範囲の$t$で積分して

$$
L
=
\displaystyle\int_p^q
\sqrt{\left(\displaystyle\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{dy}{dt}\right)^2}
~dt
$$

となります。

極座標表示の公式の導出

まず面積$S$の公式を導出します。

直接$\Delta S$を計算することはできないので、はさみうちで評価します。

$\Delta S$より小さい面積として、半径$r$で中心角$\Delta \theta$の扇形があります。

$\Delta S$より大きい面積として、半径$r+\Delta r$で中心角$\Delta \theta$の扇形があります。

よって

$$
r^2\pi
\displaystyle\frac{\Delta\theta}{2\pi}
<
\Delta S
<
(r+\Delta r)^2\pi
\displaystyle\frac{\Delta\theta}{2\pi}
$$

とはさみうちができます。不等式を整理して

$$
\displaystyle\frac{1}{2}r^2
<
\displaystyle\frac{\Delta S}{\Delta \theta}
<
\displaystyle\frac{1}{2}(r+\Delta r)^2
$$

ここで$\Delta \theta\to 0$のとき$\Delta r\to 0$なので

$$
\displaystyle\frac{1}{2}r^2
<
\displaystyle\frac{dS}{d\theta}
<
\displaystyle\frac{1}{2}r^2
$$

となります。よって

$$
\displaystyle\frac{dS}{d\theta}
=
\displaystyle\frac{1}{2}r^2
$$

両辺を$\alpha\leq \theta\leq \beta$の範囲の$\theta$で積分して

$$
S
=
\displaystyle\frac{1}{2}
\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}
r^2
~d\theta
$$

となります。

次に曲線の長さ$L$の公式を導出します。陽関数のときと同じように三平方の定理で近似します。

図の$\Delta L$と$\Delta r$と点線で示す半径$r$で中心角$\Delta \theta$の扇形の弧の3辺で三角形を作ります。

半径$r$で中心角$\Delta \theta$の扇形の弧の長さは

$$
2r
\displaystyle\frac{\Delta\theta}{2\pi}
\pi
=
r\Delta\theta
$$

です。これを使って三平方の定理より

$$
\begin{align}
\Delta L
&\simeq
\sqrt{(r\Delta \theta)^2+(\Delta r)^2}
\\\\&=
\sqrt{r^2+\left(\displaystyle\frac{\Delta r}{\Delta \theta}\right)^2}
\Delta \theta
\end{align}
$$

$\Delta \theta$を移項して

$$
\displaystyle\frac{\Delta L}{\Delta \theta}
\simeq
\sqrt{r^2+\left(\displaystyle\frac{\Delta r}{\Delta \theta}\right)^2}
$$

ここで$\Delta \theta\to 0$のとき

$$
\displaystyle\frac{dL}{d\theta}
=
\sqrt{r^2+\left(\displaystyle\frac{dr}{d\theta}\right)^2}
$$

両辺を$\alpha\leq \theta\leq \beta$の範囲の$\theta$で積分して

$$
L
=
\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}
\sqrt{r^2+\left(\displaystyle\frac{dr}{d\theta}\right)^2}
~d\theta
$$

となります。

まとめ

陽関数表示、媒介変数表示、極座標表示の3パターンにおいて、面積$S$と曲線の長さ$L$を以下のように決めます。

このとき、それぞれの表示形式において面積$S$と曲線の長さ$L$の公式は以下の式です。

陽関数表示

$$
\begin{align}
S
&=
\displaystyle\int_a^b
f(x)
~dx
\\\\
L
&=
\displaystyle\int_a^b
\sqrt{1+f'(x)^2}
~dx
\end{align}
$$

媒介変数表示

$$
\begin{align}
S
&=
\displaystyle\int_p^q
f'(t)g(t)
~dt
\\\\
L
&=
\displaystyle\int_p^q
\sqrt{f'(t)^2+g'(t)^2}
~dt
\end{align}
$$

極座標表示

$$
\begin{align}
S
&=
\displaystyle\frac{1}{2}
\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}
f(\theta)^2
~d\theta
\\\\
L
&=
\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}
\sqrt{f(\theta)^2+f'(\theta)^2}
~d\theta
\end{align}
$$

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