基底変換と表現行列の計算方法

こんにちはコーヤです。

このページでは基底変換を行う表現行列の計算方法を3ステップに分けて勉強します。式変形するのと同じように、自由に空間を変形できるようになります。

基底の変換の目的

線形写像を使って基底変換を行うことがあります。

例えば3次元列ベクトル空間R3を作ろうと思ったとき、以下のe1,e2,e3を基底にしてもいいですしf1,f2,f3を基底にしてもOKです。

e1=(100)e2=(010)e3=(001)

f1=(132)f2=(243)f3=(325)

e1,e2,e3R3Eとし、f1,f2,f3R3Fとします。

EFも同じR3ですがFで表されるよりEで表してくれた方が分かりやすいです。

なのでFのようなイマイチな基底を使っている空間があったら、Eみたいな分かりやすい基底に変換してあげましょう、というのが基底変換の目的です。

基底変換の計算に使われるのが表現行列です。それでは表現行列の計算方法を見ていきます。

表現行列の計算3ステップ

線形空間Vから線形空間Wへの線形写像f:VWとします。

表現行列の計算方法は3ステップです。

  1. Vの基底をfで線形写像する
  2. 結果をWの基底で表現する
  3. 行列形式に変形する

それでは、ベクトルが基底の線形空間と関数が基底の線形空間の2つの具体例で、表現行列を計算していきます。

ベクトルが基底の基底変換

V空間からW空間への線形写像f:VWとします。

Vを2次元列ベクトル空間R2とし、基底をv1,v2とします。

Wを2次元列ベクトル空間R2とし、基底をw1,w2とします。

それぞれ具体的な数値は以下のように定義します。

f:(xy)(xyx+y)

v1=(12)v2=(31)w1=(01)w2=(10)

具体例としてVの点(2,1)x=2,y=1よりxy=3,x+y=1になるのでWの点(3,1)に移されます。

という記号を使って線形写像を表しています。これは元の対応を表す記号です。

f:(xy)(xyx+y)

この線形写像はVx,y座標、Wx,y座標とした以下の線形写像と同じ意味です。

(xy)=(1111)(xy)=(xyx+y)

それでは表現行列の計算方法を見ていきます。

Step1. Vの基底をfで線形写像する

まずはVの基底をfで線形写像します。

v1(1,2)が成分のベクトルです。これを線形写像するとx=1,y=2よりxy=1,x+y=3なのでW(1,3)が成分のベクトルに移ります。

同様にv2(3,1)W(2,4)に移ります。

ここまでを式で表すと

f(v1)=(13)f(v2)=(24)

です。

Step2. 結果をWの基底で表現する

ステップ1の結果をw1w2で表現します。

まずは(1,3)成分から

(13)=3(01)(10)=3w1w2

こうなります。同様に(2,4)=4w1+2w2です。

ここまでを式で表すと

f(v1)=3w1w2f(v2)=4w1+2w2

です。

Step3. 行列形式に変形する

ステップ2で求めた式を行列形式で表現します。

(f(v1)f(v2))=(w1w2)(3412)

ということで線形写像f:VWの表現行列は

(3412)

になります。

表現行列の使い方

表現行列が求まったので使い方を見ていきます。

冒頭の例で使ったVの点(2,1)Wの点(3,1)に写像されることを表現行列を使って確認します。

まずはVの点(2,1)Vの基底を使って表現すると

(21)=v1+v2=(v1v2)(11)

となります。

次に表現行列を使って

(3412)(11)=(13)

です。

Wの基底を反映させてあげて

(w1w2)(13)=w1+3w2=(31)

です。たしかに点(3,1)に写像されていることが確認できました。

空間の対応の計算方法

最後にVWの対応関係としてVの点(α,β)Wのどこに写像されるかを計算します。

まずはVの点(α,β)Vの基底を使って表現すると

(αβ)=c1v1+c2v2=(1321)(c1c2)

となります。

これは非同次連立1次方程式の形になっています。自由度0なので普通に連立方程式を解いて

c1=15α+35βc2=25α15β

次に表現行列を使って

(3412)(c1c2)=(3c1+4c2c1+2c2)=(α+βαβ)

です。

Wの基底を反映させてあげて

(w1w2)(α+βαβ)=(α+β)w1+(αβ)w2=(αβα+β)

です。

以上よりVの点(α,β)Wの点(αβ,α+β)に写像されていることがわかりました。

関数が基底の基底変換

関数が基底になっても計算方法は全く同じです。

線形空間Vから線形空間Wへの線形写像f:VWとします。

Vを2次以下の関数とし、基底をv1,v2,v3とします。

Wを1次以下の関数とし、基底をw1,w2とします。

それぞれ具体的な数値は以下のように定義します。

f(p(x))=p(x)

v1=1v2=xv3=x2w1=1w2=x

具体例としてVの関数3x2+2x+1は微分されてWの関数6x+2に移されます。

それでは表現行列の計算方法を見ていきます。

Step1. Vの基底をfで線形写像する

まずはVの基底をfで写像します。

v1=1なので線形写像したら0です。

v2=xなので線形写像したら1です。

v3=x2なので線形写像したら2xです。

「線形写像したら」という書き方ではピンとこないかもしれませんが「微分したら」に読み替えたら分かりやすいです。

ここまでを式で表すと

f(v1)=0f(v2)=1f(v3)=2x

です。

Step2. 結果をWの基底で表現する

ステップ1の結果をw1w2で表現します。

w1=1w2=xより以下のような式になります。

f(v1)=0w1+0w2f(v2)=1w1+0w2f(v3)=0w1+2w2

です。

Step3. 行列形式に変形する

ステップ2で求めた式を行列形式で表現します。

(f(v1)f(v2)f(v3))=(w1w2)(010002)

ということで線形写像f:VWの表現行列は

(010002)

になります。

表現行列の使い方

表現行列の使い方を見ていきます。

冒頭の例で使ったVの関数3x2+2x+1Wの関数6x+2に写像されることを表現行列を使って確認します。

まずはVの関数3x2+2x+1Vの基底を使って表現すると

3x2+2x+1=v1+2v2+3v3=(v1v2v3)(123)

となります。

次に表現行列を使って

(010002)(123)=(26)

です。

Wの基底を反映させてあげて

(w1w2)(26)=2w1+6w2=6x+2

です。たしかに関数6x+2に写像されていることが確認できました。

空間の対応の計算方法

最後にVWの対応関係としてVの関数αx2+βx+γがどのようにWに写像されるかを計算します。

まずはVの関数αx2+βx+γVの基底を使って表現すると

αx2+βx+γ=γv1+βv2+αv3=(v1v2v3)(γβα)

となります。

次に表現行列を使って

(010002)(γβα)=(β2α)

です。

Wの基底を反映させてあげて

(w1w2)(β2α)=βw1+2αw2=2αx+β

です。

以上よりVの関数αx2+βx+γWの関数2αx+βに写像されていることがわかりました。

まとめ

表現行列の計算方法は3ステップです。

  1. Vの基底をfで写像する
  2. 結果をWの基底で表現する
  3. 行列形式に変形する

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