こんにちはコーヤです。
このページでは基底変換を行う表現行列の計算方法を3ステップに分けて勉強します。式変形するのと同じように、自由に空間を変形できるようになります。
基底の変換の目的
線形写像を使って基底変換を行うことがあります。
例えば3次元列ベクトル空間
なので
基底変換の計算に使われるのが表現行列です。それでは表現行列の計算方法を見ていきます。
表現行列の計算3ステップ
線形空間
表現行列の計算方法は3ステップです。
の基底を で線形写像する- 結果を
の基底で表現する - 行列形式に変形する
それでは、ベクトルが基底の線形空間と関数が基底の線形空間の2つの具体例で、表現行列を計算していきます。
ベクトルが基底の基底変換
それぞれ具体的な数値は以下のように定義します。
具体例として
この線形写像は
それでは表現行列の計算方法を見ていきます。
Step1. の基底を で線形写像する
まずは
同様に
ここまでを式で表すと
です。
Step2. 結果を の基底で表現する
ステップ1の結果を
まずは
こうなります。同様に
ここまでを式で表すと
です。
Step3. 行列形式に変形する
ステップ2で求めた式を行列形式で表現します。
ということで線形写像
になります。
表現行列の使い方
表現行列が求まったので使い方を見ていきます。
冒頭の例で使った
まずは
となります。
次に表現行列を使って
です。
です。たしかに点
空間の対応の計算方法
最後に
まずは
となります。
これは非同次連立1次方程式の形になっています。自由度0なので普通に連立方程式を解いて
次に表現行列を使って
です。
です。
以上より
関数が基底の基底変換
関数が基底になっても計算方法は全く同じです。
線形空間
それぞれ具体的な数値は以下のように定義します。
具体例として
それでは表現行列の計算方法を見ていきます。
Step1. の基底を で線形写像する
まずは
「線形写像したら」という書き方ではピンとこないかもしれませんが「微分したら」に読み替えたら分かりやすいです。
ここまでを式で表すと
です。
Step2. 結果を の基底で表現する
ステップ1の結果を
です。
Step3. 行列形式に変形する
ステップ2で求めた式を行列形式で表現します。
ということで線形写像
になります。
表現行列の使い方
表現行列の使い方を見ていきます。
冒頭の例で使った
まずは
となります。
次に表現行列を使って
です。
です。たしかに関数
空間の対応の計算方法
最後に
まずは
となります。
次に表現行列を使って
です。
です。
以上より
まとめ
表現行列の計算方法は3ステップです。
の基底を で写像する- 結果を
の基底で表現する - 行列形式に変形する
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