ランダウの記号と極限の計算方法

こんにちはコーヤです。

このページでは、テイラー展開の無限級数を打ち切るランダウの記号の使い方と、極限の計算にテイラー展開を利用する方法を勉強します。

ランダウの記号の概要
大文字のランダウの記号
小文字のランダウの記号
極限計算の例題
まとめ

ランダウの記号の概要

ランダウの記号はテイラー展開の無限級数を打ち切るときに使われる記号です。

大文字のランダウの記号 $O$ と、小文字のランダウの記号 $o$ の2種類があります。

アルファベットの「オー」ではなくて、ギリシャ文字の「オミクロン」です。

（オーもオミクロンも見た目は一緒なので違いは分かりませんが…）

大文字のランダウの記号

$x = a$ で関数 $f (x)$ をテイラー展開した時、別の関数 $g (x)$ を用いて

$lim_{x \to a} | \frac{f (x)}{g (x)} | \leq C$

を満たす定数 $C$ が存在する時、大文字のランダウの記号 $O$ を用いて

$f (x) = O (g (x))$

と表します。

$x \to a$ のとき $f (x)$ は $g (x)$ と同じくらいの速度で収束・発散する、というのを表すのが大文字のランダウの記号です。

$lim_{x \to 0} | \frac{\sin x}{x} | = 1$

この極限の公式は大文字のランダウの記号 $O$ を用いて

$\sin x = O (x)$

と表すことができます。

$x \to 0$ のとき $\sin x$ は $x$ と同じくらいの速度で収束する、という意味です。

小文字のランダウの記号

$x = a$ で関数 $f (x)$ をテイラー展開した時、別の関数 $g (x)$ を用いて

$lim_{x \to a} | \frac{f (x)}{g (x)} | = 0$

を満たす時、小文字のランダウの記号 $o$ を用いて

$f (x) = o (g (x))$

と表します。

$x \to a$ のとき $f (x)$ は $g (x)$ よりも速く収束する、というのを表すのが小文字のランダウの記号です。

$lim_{x \to 0} | \frac{\sin x - x}{x^{2}} | = 0$

この極限は小文字のランダウの記号 $o$ を用いて

$\sin x - x = o (x^{2})$

と表すことができます。

$x \to 0$ のとき $\sin x - x$ は $x^{2}$ よりも速く収束する、という意味です。

極限の計算にテイラー展開を利用する場合は小文字のランダウの記号が活躍します。

極限計算の例題

それでは例題2つで極限の計算をしてみましょう。ランダウの記号に慣れましょう。

例題1

$lim_{x \to 0} {(\frac{\sin x}{x})}^{\frac{1}{x^{2}}}$

極限が $x \to 0$ なので、与えられた関数をマクローリン展開します。

$\sin x = x - \frac{1}{3!} x^{3} + \frac{1}{5!} x^{5} - \frac{1}{7!} x^{7} + \dots$

を利用して

$\frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{1}{3!} x^{2} + \frac{1}{5!} x^{4} - \frac{1}{7!} x^{6} + \dots$

となります。ここで

$lim_{x \to 0} | \frac{\frac{1}{5!} x^{4} - \frac{1}{7!} x^{6} + \dots}{x^{3}} | = 0$

より

$\frac{1}{5!} x^{4} - \frac{1}{7!} x^{6} + \dots = o (x^{3})$

となります。マクローリン展開の結果をランダウの記号を用いて書くと

$\frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{1}{3!} x^{2} + o (x^{3})$

となるので、与式は

$lim_{x \to 0} {(\frac{\sin x}{x})}^{\frac{1}{x^{2}}} = lim_{x \to 0} {(1 - \frac{1}{3!} x^{2} + o (x^{3}))}^{\frac{1}{x^{2}}}$

と書き換えることができます。ここで

$- \frac{1}{3!} x^{2} + o (x^{3}) = α$

とします。すると

$lim_{x \to 0} α = 0$

となります。

$o (x^{3})$ は $x^{3}$ よりも速く収束する関数をまとめたものです。

$x \to 0$ の極限のときは $x^{3} = 0$ に収束するより速く $o (x^{3}) = 0$ に収束します。

以上より

$\begin{aligned} lim_{x \to 0} {(\frac{\sin x}{x})}^{\frac{1}{x^{2}}} & = lim_{x \to 0} {(1 - \frac{1}{3!} x^{2} + o (x^{3}))}^{\frac{1}{x^{2}}} \\ = lim_{x \to 0} {(1 + α)}^{\frac{1}{x^{2}}} \\ = lim_{x \to 0} {{(1 + α)}^{\frac{1}{α}}}^{\frac{α}{x^{2}}} \\ = lim_{x \to 0} e^{\frac{α}{x^{2}}} \end{aligned}$

ここで $\frac{α}{x^{2}}$ について

$\begin{aligned} lim_{x \to 0} \frac{α}{x^{2}} & = lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{3!} x^{2} + o (x^{3})}{x^{2}} \\ = lim_{x \to 0} - \frac{1}{3!} + \frac{o (x^{3})}{x^{2}} \\ = - \frac{1}{3!} \\ = - \frac{1}{6} \end{aligned}$

となります。

$o (x^{3})$ は $x^{3}$ よりも速く収束する関数をまとめたものです。

$x \to 0$ の極限のときは $x^{3} = 0$ に収束するより速く $o (x^{3}) = 0$ に収束します。

なので分子の $o (x^{3})$ の収束は分母の $x^{2}$ の収束よりも速いです。

この結果を代入して

$\begin{aligned} lim_{x \to 0} {(\frac{\sin x}{x})}^{\frac{1}{x^{2}}} & = lim_{x \to 0} e^{\frac{α}{x^{2}}} \\ = e^{- \frac{1}{6}} \end{aligned}$

となります。

例題2

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} - \sin^{2} x}{x^{2} \sin^{2} x}$

極限が $x \to 0$ なので、与えられた関数をマクローリン展開します。

$\sin x = x - \frac{1}{3!} x^{3} + \frac{1}{5!} x^{5} - \frac{1}{7!} x^{7} + \dots$

ここで

$lim_{x \to 0} | \frac{\frac{1}{5!} x^{5} - \frac{1}{7!} x^{7} + \dots}{x^{4}} | = 0$

より

$\frac{1}{5!} x^{5} - \frac{1}{7!} x^{7} + \dots = o (x^{4})$

となります。マクローリン展開の結果をランダウの記号を用いて書くと

$\sin x = x - \frac{1}{6} x^{3} + o (x^{4})$

となるので

$\begin{aligned} \sin^{2} x & = {x - \frac{1}{6} x^{3} + o (x^{4})}^{2} \\ = x^{2} - \frac{1}{3} x^{4} + \frac{1}{36} x^{6} + (2 x - \frac{1}{3} x^{3}) o (x^{4}) + {o (x^{4})}^{2} \end{aligned}$

となります。この結果にもランダウの記号を使います。

$lim_{x \to 0} | \frac{\frac{1}{36} x^{6} + (2 x - \frac{1}{3} x^{3}) o (x^{4}) + {o (x^{4})}^{2}}{x^{4}} | = 0$

より

$\frac{1}{36} x^{6} + (2 x - \frac{1}{3} x^{3}) o (x^{4}) + {o (x^{4})}^{2} = o (x^{4})$

となります。

$o (x^{4})$ は $x^{4}$ よりも速く収束する関数をまとめたものです。

${o (x^{4})}^{2}$ はもちろん $x^{4}$ より速く収束します。

この結果を使って $\sin^{2} x$ をマクローリン展開すると

$\begin{aligned} \sin^{2} x & = x^{2} - \frac{1}{3} x^{4} + \frac{1}{36} x^{6} + (2 x - \frac{1}{3} x^{3}) o (x^{4}) + {o (x^{4})}^{2} \\ = x^{2} - \frac{1}{3} x^{4} + o (x^{4}) \end{aligned}$

となります。与式へ代入して

$\begin{aligned} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} - \sin^{2} x}{x^{2} \sin^{2} x} & = lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} x^{4} - o (x^{4})}{x^{4} - \frac{1}{3} x^{6} + x^{2} o (x^{4})} \\ = lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} - \frac{o (x^{4})}{x^{4}}}{1 - \frac{1}{3} x^{2} + \frac{o (x^{4})}{x^{2}}} \\ = \frac{1}{3} \end{aligned}$

です。

まとめ

ランダウの記号を用いてテイラー展開の無限級数を打ち切ります。

ランダウの記号は打ち切られた項の収束・発散速度を表すので、極限の計算に利用することができます。

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極限計算の例題

例題1

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