ランダウの記号と極限の計算方法

こんにちはコーヤです。

このページでは、テイラー展開の無限級数を打ち切るランダウの記号の使い方と、極限の計算にテイラー展開を利用する方法を勉強します。

ランダウの記号の概要

ランダウの記号はテイラー展開の無限級数を打ち切るときに使われる記号です。

大文字のランダウの記号$O$と、小文字のランダウの記号$o$の2種類があります。

アルファベットの「オー」ではなくて、ギリシャ文字の「オミクロン」です。

(オーもオミクロンも見た目は一緒なので違いは分かりませんが…)

大文字のランダウの記号

$x=a$で関数$f(x)$をテイラー展開した時、別の関数$g(x)$を用いて

$$
\displaystyle\lim_{x\to a}
\left|
\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}
\right|
\leq
C
$$

を満たす定数$C$が存在する時、大文字のランダウの記号$O$を用いて

$$
f(x)=O(g(x))
$$

と表します。

$x\to a$のとき$f(x)$は$g(x)$と同じくらいの速度で収束・発散する、というのを表すのが大文字のランダウの記号です。

$$
\displaystyle\lim_{x\to 0}
\left|
\displaystyle\frac{\sin x}{x}
\right|
=
1
$$

この極限の公式は大文字のランダウの記号$O$を用いて

$$
\sin x
=
O(x)
$$

と表すことができます。

$x\to 0$のとき$\sin x$は$x$と同じくらいの速度で収束する、という意味です。

小文字のランダウの記号

$x=a$で関数$f(x)$をテイラー展開した時、別の関数$g(x)$を用いて

$$
\displaystyle\lim_{x\to a}
\left|
\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}
\right|
=
0
$$

を満たす時、小文字のランダウの記号$o$を用いて

$$
f(x)=o(g(x))
$$

と表します。

$x\to a$のとき$f(x)$は$g(x)$よりも速く収束する、というのを表すのが小文字のランダウの記号です。

$$
\displaystyle\lim_{x\to 0}
\left|
\displaystyle\frac{\sin x-x}{x^2}
\right|
=
0
$$

この極限は小文字のランダウの記号$o$を用いて

$$
\sin x-x
=
o(x^2)
$$

と表すことができます。

$x\to 0$のとき$\sin x-x$は$x^2$よりも速く収束する、という意味です。

極限の計算にテイラー展開を利用する場合は小文字のランダウの記号が活躍します。

極限計算の例題

それでは例題2つで極限の計算をしてみましょう。ランダウの記号に慣れましょう。

例題1

$$
\displaystyle\lim_{x \to 0}
\left(
\displaystyle\frac{\sin x}{x}
\right)
^{\frac{1}{x^2}}
$$

極限が$x\to 0$なので、与えられた関数をマクローリン展開します。

$$
\sin x
=
x-\displaystyle\frac{1}{3!}x^3+\displaystyle\frac{1}{5!}x^5-\displaystyle\frac{1}{7!}x^7+\cdots
$$

を利用して

$$
\displaystyle\frac{\sin x}{x}
=
1-\displaystyle\frac{1}{3!}x^2+\displaystyle\frac{1}{5!}x^4-\displaystyle\frac{1}{7!}x^6+\cdots
$$

となります。ここで

$$
\displaystyle\lim_{x\to 0}
\left|
\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{5!}x^4-\displaystyle\frac{1}{7!}x^6+\cdots}{x^3}
\right|
=
0
$$

より

$$
\displaystyle\frac{1}{5!}x^4-\displaystyle\frac{1}{7!}x^6+\cdots
=
o(x^3)
$$

となります。マクローリン展開の結果をランダウの記号を用いて書くと

$$
\displaystyle\frac{\sin x}{x}
=
1-\displaystyle\frac{1}{3!}x^2+o(x^3)
$$

となるので、与式は

$$
\displaystyle\lim_{x \to 0}
\left(
\displaystyle\frac{\sin x}{x}
\right)
^{\frac{1}{x^2}}
=
\displaystyle\lim_{x \to 0}
\left(
1-\displaystyle\frac{1}{3!}x^2+o(x^3)
\right)
^{\frac{1}{x^2}}
$$

と書き換えることができます。ここで

$$
-\displaystyle\frac{1}{3!}x^2+o(x^3)
=
\alpha
$$

とします。すると

$$
\displaystyle\lim_{x \to 0}
\alpha
=
0
$$

となります。

$o(x^3)$は$x^3$よりも速く収束する関数をまとめたものです。

$x\to 0$の極限のときは$x^3=0$に収束するより速く$o(x^3)=0$に収束します。

以上より

$$
\begin{align}
\displaystyle\lim_{x \to 0}
\left(
\displaystyle\frac{\sin x}{x}
\right)
^{\frac{1}{x^2}}
&=
\displaystyle\lim_{x \to 0}
\left(
1-\displaystyle\frac{1}{3!}x^2+o(x^3)
\right)
^{\frac{1}{x^2}}
\\\\&=
\displaystyle\lim_{x \to 0}
\left(
1+\alpha
\right)
^{\frac{1}{x^2}}
\\\\&=
\displaystyle\lim_{x \to 0}
\left\{
\left(
1+\alpha
\right)
^{\frac{1}{\alpha}}
\right\}
^{\frac{\alpha}{x^2}}
\\\\&=
\displaystyle\lim_{x \to 0}
e^{\frac{\alpha}{x^2}}
\end{align}
$$

ここで$\displaystyle\frac{\alpha}{x^2}$について

$$
\begin{align}
\displaystyle\lim_{x \to 0}
\displaystyle\frac{\alpha}{x^2}
&=
\displaystyle\lim_{x \to 0}
\displaystyle\frac{-\displaystyle\frac{1}{3!}x^2+o(x^3)}{x^2}
\\\\&=
\displaystyle\lim_{x \to 0}
-\displaystyle\frac{1}{3!}
+
\displaystyle\frac{o(x^3)}{x^2}
\\\\&=
-\displaystyle\frac{1}{3!}
\\\\&=
-\displaystyle\frac{1}{6}
\end{align}
$$

となります。

$o(x^3)$は$x^3$よりも速く収束する関数をまとめたものです。

$x\to 0$の極限のときは$x^3=0$に収束するより速く$o(x^3)=0$に収束します。

なので分子の$o(x^3)$の収束は分母の$x^2$の収束よりも速いです。

この結果を代入して

$$
\begin{align}
\displaystyle\lim_{x \to 0}
\left(
\displaystyle\frac{\sin x}{x}
\right)
^{\frac{1}{x^2}}
&=
\displaystyle\lim_{x \to 0}
e^{\frac{\alpha}{x^2}}
\\\\&=
e^{-\frac{1}{6}}
\end{align}
$$

となります。

例題2

$$
\displaystyle\lim_{x \to 0}
\displaystyle\frac{x^2-\sin^2 x}{x^2\sin ^2 x}
$$

極限が$x\to 0$なので、与えられた関数をマクローリン展開します。

$$
\sin x
=
x-\displaystyle\frac{1}{3!}x^3+\displaystyle\frac{1}{5!}x^5-\displaystyle\frac{1}{7!}x^7+\cdots
$$

ここで

$$
\displaystyle\lim_{x\to 0}
\left|
\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{5!}x^5-\displaystyle\frac{1}{7!}x^7+\cdots}{x^4}
\right|
=
0
$$

より

$$
\displaystyle\frac{1}{5!}x^5-\displaystyle\frac{1}{7!}x^7+\cdots
=
o(x^4)
$$

となります。マクローリン展開の結果をランダウの記号を用いて書くと

$$
\sin x
=
x-\displaystyle\frac{1}{6}x^3+o(x^4)
$$

となるので

$$
\begin{align}
\sin ^2 x
&=
\left\{
x-\displaystyle\frac{1}{6}x^3+o(x^4)
\right\}^2
\\\\&=
x^2
-\displaystyle\frac{1}{3}x^4
+\displaystyle\frac{1}{36}x^6
+\left(2x-\displaystyle\frac{1}{3}x^3\right)o(x^4)
+\left\{o(x^4)\right\}^2
\end{align}
$$

となります。この結果にもランダウの記号を使います。

$$
\displaystyle\lim_{x\to 0}
\left|
\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{36}x^6+\left(2x-\displaystyle\frac{1}{3}x^3\right)o(x^4)+\left\{o(x^4)\right\}^2}{x^4}
\right|
=
0
$$

より

$$
\displaystyle\frac{1}{36}x^6+\left(2x-\displaystyle\frac{1}{3}x^3\right)o(x^4)+\left\{o(x^4)\right\}^2
=
o(x^4)
$$

となります。

$o(x^4)$は$x^4$よりも速く収束する関数をまとめたものです。

$\left\{o(x^4)\right\}^2$はもちろん$x^4$より速く収束します。

この結果を使って$\sin ^2 x$をマクローリン展開すると

$$
\begin{align}
\sin ^2 x
&=
x^2
-\displaystyle\frac{1}{3}x^4
+\displaystyle\frac{1}{36}x^6
+\left(2x-\displaystyle\frac{1}{3}x^3\right)o(x^4)
+\left\{o(x^4)\right\}^2
\\\\&=
x^2-\displaystyle\frac{1}{3}x^4+o(x^4)
\end{align}
$$

となります。与式へ代入して

$$
\begin{align}
\displaystyle\lim_{x \to 0}
\displaystyle\frac{x^2-\sin^2 x}{x^2\sin ^2 x}
&=
\displaystyle\lim_{x \to 0}
\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{3}x^4-o(x^4)}{x^4-\displaystyle\frac{1}{3}x^6+x^2o(x^4)}
\\\\&=
\displaystyle\lim_{x \to 0}
\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{3}-\displaystyle\frac{o(x^4)}{x^4}}{1-\displaystyle\frac{1}{3}x^2+\displaystyle\frac{o(x^4)}{x^2}}
\\\\&=
\displaystyle\frac{1}{3}
\end{align}
$$

です。

まとめ

ランダウの記号を用いてテイラー展開の無限級数を打ち切ります。

ランダウの記号は打ち切られた項の収束・発散速度を表すので、極限の計算に利用することができます。

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