n次導関数の計算方法

こんにちはコーヤです。

このページでは、n次導関数を計算する方法として、数学的帰納法とライプニッツの微分公式の2パターンを勉強します。テイラー展開の分野でn次導関数が必要になります。

n次導関数の概要
方法1. 数学的帰納法を使う
方法2. ライプニッツの微分公式を使う
ライプニッツの微分公式の注意点
まとめ

n次導関数の概要

関数 $f (x)$ を1階微分したら $f^{(1)} (x)$ になり、2階微分したら $f^{(2)} (x)$ になり、 $n$ 階微分したら $f^{(n)} (x)$ になります。

この $f^{(n)} (x)$ が $n$ 次導関数です。

$n$ 次導関数の求め方は2パターンあります。

数学的帰納法を使う
ライプニッツの微分公式を使う

それぞれ計算方法を見ていきましょう。

方法1. 数学的帰納法を使う

以下の関数の $y^{(n)}$ を求めてみます。

$y = \frac{1}{1 - x}$

$n$ 次導関数の形を予想するために、手計算で3次導関数くらいまで求めてみます。

$\begin{aligned} y & = (1 - x)^{- 1} \\ y^{(1)} & = (1 - x)^{- 2} \\ y^{(2)} & = 2 (1 - x)^{- 3} \\ y^{(3)} & = 6 (1 - x)^{- 4} \end{aligned}$

この結果より $k$ 次導関数の形を以下のように仮定します。

$y^{(k)} = k! (1 - x)^{- k - 1}$

$k + 1$ 次導関数を計算すると

$\begin{aligned} y^{(k + 1)} & = k! (- k - 1) (1 - x)^{- k - 2} (- 1) \\ = (k + 1)! (1 - x)^{- (k + 1) - 1} \end{aligned}$

これより $n$ 次導関数は

$y^{(n)} = n! (1 - x)^{- n - 1}$

となります。

方法2. ライプニッツの微分公式を使う

まずはライプニッツの微分公式を示します。 $f (x)$ と $g (x)$ の積を $n$ 階微分する公式です。

$(f \cdot g)^{(n)} = \sum_{k = 0}^{n}_{n} C_{k} f^{(k)} g^{(n - k)}$

二項定理と同じ形をしています。

この公式を使って以下の関数の $y^{(n)}$ を求めてみます。

$y = \frac{x^{2}}{1 - x}$

ライプニッツの微分公式を使うために $f \cdot g$ の形に $y$ を分解します。

$\begin{aligned} f (x) & = x^{2} \\ g (x) & = (1 - x)^{- 1} \end{aligned}$

分解のコツは「微分すると0になる関数」「微分しても0にならない関数」で分解することです。

$f (x) = x^{2}$ は微分すればいつか0になります。

$g (x) = (1 - x)^{- 1}$ は数学的帰納法で求めたとおり、何回微分しても0になりません。

このように分解すると上手く計算できる理由は、この後を読み進めると分かります。

次に $f (x)$ と $g (x)$ それぞれの $n$ 次導関数を求めます。

$\begin{aligned} f (x) & = x^{2} \\ f^{(1)} (x) & = 2 x \\ f^{(2)} (x) & = 2 \\ f^{(3)} (x) & = 0 \\ ⋮ \\ f^{(n)} (x) & = 0 \end{aligned}$

$\begin{aligned} g (x) & = (1 - x)^{- 1} \\ g^{(1)} (x) & = (1 - x)^{- 2} \\ g^{(2)} (x) & = 2 (1 - x)^{- 3} \\ g^{(3)} (x) & = 6 (1 - x)^{- 4} \\ ⋮ \\ g^{(n)} (x) & = n! (1 - x)^{- n - 1} \end{aligned}$

この結果を公式に代入します。

$\begin{aligned} y^{(n)} & = \sum_{k = 0}^{n}_{n} C_{k} f^{(k)} g^{(n - k)} \\ =_{n} C_{0} f g^{(n)} +_{n} C_{1} f^{(1)} g^{(n - 1)} +_{n} C_{2} f^{(2)} g^{(n - 2)} +_{n} C_{3} f^{(3)} g^{(n - 3)} + \dots +_{n} C_{n} f^{(n)} g \end{aligned}$

ここで

$\begin{aligned} f^{(3)} (x) & = 0 \\ f^{(4)} (x) & = 0 \\ ⋮ \\ f^{(n)} (x) & = 0 \end{aligned}$

より

$\begin{aligned} y^{(n)} & =_{n} C_{0} f g^{(n)} +_{n} C_{1} f^{(1)} g^{(n - 1)} +_{n} C_{2} f^{(2)} g^{(n - 2)} \end{aligned}$

となります。後は各項を計算していきます。

$\begin{aligned} y^{(n)} & =_{n} C_{0} f g^{(n)} +_{n} C_{1} f^{(1)} g^{(n - 1)} +_{n} C_{2} f^{(2)} g^{(n - 2)} \\ = 1 \cdot x^{2} \cdot n! (1 - x)^{- n - 1} + n \cdot 2 x \cdot (n - 1)! (1 - x)^{- n} + \frac{1}{2} n (n - 1) \cdot 2 \cdot (n - 2)! (1 - x)^{- n + 1} \\ = x^{2} \cdot n! (1 - x)^{- n - 1} + 2 x \cdot n! (1 - x)^{- n - 1} (1 - x) + 2 \cdot n! (1 - x)^{- n - 1} (1 - x)^{2} \\ = n! (1 - x)^{- n - 1} {x^{2} + 2 x (1 - x) + (1 - x)^{2}} \\ = n! (1 - x)^{- n - 1} \end{aligned}$

これで $n$ 次導関数が求まりました。

ライプニッツの微分公式の注意点

数学的帰納法の例で使った関数の $n$ 次導関数は

$\begin{aligned} y & = \frac{1}{1 - x} \\ y^{(n)} & = n! (1 - x)^{- n - 1} \end{aligned}$

ライプニッツの微分公式の例で使った関数の $n$ 次導関数は

$\begin{aligned} y & = \frac{x^{2}}{1 - x} \\ y^{(n)} & = n! (1 - x)^{- n - 1} \end{aligned}$

でした。

元は異なる関数なのに $n$ 次導関数が一致しています。

本当に異なる関数でも $n$ 次導関数は一致するのでしょうか。

試しに2階微分まで手計算してみると

$\begin{array}{ccccccc} n = 0 & n = 1 & n = 2 \\ y = \frac{1}{1 - x} & y^{'} = \frac{1}{(1 - x)^{2}} & y^{'}^{'} = \frac{2}{(1 - x)^{3}} \\ y = \frac{x^{2}}{1 - x} & y^{'} = \frac{x (2 - x)}{(1 - x)^{2}} & y^{'}^{'} = \frac{2}{(1 - x)^{3}} \end{array}$

1階微分は異なり、2階微分は一致しています。2階微分が一致したので3階以降も一致します。

1階微分が異なる理由は、ライプニッツの微分公式は一定以上 $n$ が大きくないと成り立たないという性質があるからです。

今回の例でいうと、途中で $_{n} C_{2}$ の計算を行っています。 $n = 0$ や $n = 1$ では $_{n} C_{2}$ が計算できません。

つまり、ライプニッツの微分公式が正しく計算できているのは $n \geq 2$ の時です。

たしかに手計算の結果も $n \geq 2$ から一致しています。

まとめ

$n$ 次導関数の求め方は2パターンあります。

数学的帰納法を使う
ライプニッツの微分公式を使う

ライプニッツの微分公式は以下の式です。

$(f \cdot g)^{(n)} = \sum_{k = 0}^{n}_{n} C_{k} f^{(k)} g^{(n - k)}$

テイラー展開の計算方法

テイラー展開の計算方法と展開の意味を勉強します。テイラー展開は微分方程式や指数行列など多くの分野で活躍します。

ロピタルの定理の使い方

ロピタルの定理の使用条件3つと使い方を勉強します。ロピタルは使用条件を満たしていることの確認が大変ですが、正攻法では解けない極限も計算できるようになります。

n次導関数の計算方法

n次導関数の概要

方法1. 数学的帰納法を使う

方法2. ライプニッツの微分公式を使う

ライプニッツの微分公式の注意点

まとめ

次のページ

前のページ

目次

コメント欄