偏微分の意味と計算方法

こんにちはコーヤです。

このページでは、多変数関数に含まれる変数のうちの1つ変数に注目して微分する、偏微分の意味と計算方法を勉強します。

※普通の微分と偏微分を区別するために、普通の微分のことを「常微分」と記載します。

常微分と偏微分の違い
偏微分の表現方法
偏微分計算の例題
シュワルツの定理
まとめ

常微分と偏微分の違い

常微分と比べながら偏微分の意味を確認します。

常微分の意味

$x$ が $Δ x$ だけ変化した時の $y$ の変化量 $Δ y$ は

$Δ y = f (x + Δ x) - f (x)$

なので、平均変化率は

$\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x}$

であり、ここで $Δ x \to 0$ のとき

$\frac{d y}{d x} = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x}$

となる。

偏微分の意味

$x$ が $Δ x$ だけ変化した時の $z$ の変化量 $Δ z$ は

$Δ z = f (x + Δ x, y) - f (x, y)$

なので、平均変化率は

$\frac{Δ z}{Δ x} = \frac{f (x + Δ x, y) - f (x, y)}{Δ x}$

であり、ここで $Δ x \to 0$ のとき

$\frac{\partial z}{\partial x} = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x, y) - f (x, y)}{Δ x}$

となる。

偏微分の意味は以上です。常微分と同じ計算です。

偏微分の表現方法

偏微分には $\partial$ という記号を使います。常微分の $d$ に当たる記号で、「常微分ではなく偏微分をしている」ことを表すために $d$ から $\partial$ に変えています。

読み方はデル、ラウンド、ラウンドディー、パーシャル、など様々ありますので、好きな呼び方で呼んでください。

$d x$ の「ディーエックス」と同じように $\partial x$ は「デルエックス」と言うのが一般的かと思います。

1変数関数 $f (x)$ の導関数の表現方法は下のように様々な方法がありました。

$\begin{array}{ccccc} f^{'} (x) & , & \frac{d f}{d x} & , & \frac{d}{d x} f (x) \end{array}$

同様に2変数関数 $f (x, y)$ の偏導関数の表現方法は下のように様々な方法があります。上段が $x$ での偏微分、下段が $y$ での偏微分です。

$\begin{array}{ccccc} f_{x} (x, y) & , & \frac{\partial f}{\partial x} & , & \frac{\partial}{\partial x} f (x, y) \\ f_{y} (x, y) & , & \frac{\partial f}{\partial y} & , & \frac{\partial}{\partial y} f (x, y) \end{array}$

偏微分計算の例題

それでは例題で偏微分の計算をしてみましょう。

以下の関数の2階偏導関数まで求めます。

$f (x, y) = x^{3} + y^{2} + \sin (x y)$

まず1階偏導関数を求めます。 $x$ での偏微分と $y$ での偏微分の2種類があります。

$\begin{aligned} f_{x} (x, y) & = 3 x^{2} + y \cos (x y) \\ f_{y} (x, y) & = 2 y + x \cos (x y) \end{aligned}$

偏微分と関係ない方の変数は定数とみなして常微分計算すればOKです。

次に2階偏導関数を求めます。 $f_{x}$ の $x$ での偏微分と $y$ での偏微分の2種類、 $f_{y}$ の $x$ での偏微分と $y$ での偏微分の2種類で、計4種類あります。

$\begin{aligned} f_{x x} (x, y) & = 6 x - y^{2} \sin (x y) \\ f_{x y} (x, y) & = \cos (x y) - x y \sin (x y) \\ f_{y x} (x, y) & = \cos (x y) - x y \sin (x y) \\ f_{x x} (x, y) & = 2 - x^{2} \sin (x y) \end{aligned}$

となります。

$f_{x y}$ は $f_{x}$ を $y$ で偏微分した関数です。

$f_{x y} = (f_{x})_{y} = \frac{\partial}{\partial y} f_{x}$

こんな感じのイメージです。

この例でも分かる通り偏微分の計算自体は常微分計算と同じです。気楽に計算しましょう。

シュワルツの定理

シュワルツの定理の概要

偏微分の順番を入れ替えてもOKかどうかを判断するシュワルツの定理という定理があります。

上記の例題でも

$f_{x y} = f_{y x}$

となっていたように、例題の $f (x, y)$ は $x$ と $y$ のどちらから先に偏微分しても偏導関数は一致します。つまり偏微分の順番を勝手に入れ替えてもOKということです。

逆に言うと、偏微分の順番を入れ替えたらいけない関数もあります。これを判断するのがシュワルツの定理です。

シュワルツの定理の具体例

$f (x, y)$ が $C^{2}$ 級の関数なら以下の式が成り立ちます。

$f_{x y} = f_{y x}$

$C^{2}$ 級は関数の滑らかさを表す表現方法です。

$f (x, y)$ が $C^{2}$ 級であるためには、2階偏導関数 $f_{x x}, f_{x y}, f_{y x}, f_{y y}$ が存在し、かつ2階偏導関数4つとも連続である必要があります。

$C^{n}$ 級の意味の詳細は解析関数のページをご覧ください。

解析関数と滑らかさの定義

関数の滑らかさを勉強します。微分とテイラー展開の知識を利用して、「滑らか」という直感的な形容詞を正確に定義します。

$f (x, y)$ が $C^{3}$ 級の関数なら以下の式が成り立ちます。

$\begin{array}{r} f_{x x y} = f_{x y x} = f_{y x x} \\ f_{x y y} = f_{y x y} = f_{y y x} \end{array}$

一般化すると「 $f (x, y)$ が $C^{n}$ 級の関数なら $n$ 階偏微分の順番を入れ替えてもOK」ということです。

まとめ

偏微分は多変数関数に含まれる変数のうちの1つ変数に注目して微分します。計算方法は常微分と同じです。

全微分の意味と計算方法

多変数関数に含まれる変数すべてに注目して微分する、全微分の意味と計算方法を勉強します。

2変数関数の極限の計算方法

2変数関数の極限の計算方法を勉強します。1変数関数では曲線の極限を扱いましたが、2変数関数では曲面の極限を扱います。