こんにちはコーヤです。
このページでは、2変数関数のテイラー展開の計算方法を勉強します。1変数関数のテイラー展開を基に2変数関数へ拡張します。
2変数関数のテイラー展開の導出
2変数関数のテイラー展開は、1変数関数のテイラー展開を2回行うことで導出できます。
$f(x,y)$を$x$の1変数関数だとみなして$x=a$でテイラー展開して、その後$y$を変数に戻して$y=b$でテイラー展開するという流れです。
それではさっそく計算しましょう。計算を簡単にするために3次の項までのテイラー展開を扱います。
1変数関数$f(x)$を$x=a$で3次の項までテイラー展開する式は以下の通りでした。
$$
f(x)
\simeq
f(a)+f'(a)(x-a)+\displaystyle\frac{1}{2}f'{}'(a)(x-a)^2
+
\displaystyle\frac{1}{6}f'{}'{}'(a)(x-a)^3
$$
1変数関数のテイラー展開が不安な方は復習がてらご覧ください。
2変数関数$f(x,y)$を$x$の1変数関数だとみなして$x=a$で3次の項までテイラー展開する式は以下のようになります。
$$
f(x,y)
\simeq
f(a,y)+f_x(a,y)(x-a)+\displaystyle\frac{1}{2}f_{xx}(a,y)(x-a)^2
+
\displaystyle\frac{1}{6}f_{xxx}(a,y)(x-a)^3
\tag{1}
$$
1変数のテイラー展開の式と同じ構造をしていることが分かると思います。
ここで式(1)に出てくる$f(a,y)$や$f_x(a,y)$は$y$の1変数関数です。それぞれ以下のように表します。
$$
\begin{align}
p(y) &= f(a,y)
\\\\
q(y) &= f_x(a,y)
\\\\
r(y) &= f_{xx}(a,y)
\\\\
s(y) &= f_{xxx}(a,y)
\end{align}
$$
これらを式(1)に代入すると
$$
f(x,y)
\simeq
p(y)+q(y)(x-a)+\displaystyle\frac{1}{2}r(y)(x-a)^2+\displaystyle\frac{1}{6}s(y)(x-a)^3
$$
このようになります。
ここで$p(y)$を$y=b$で3次の項までテイラー展開して、その後$p(y)\to f(a,y)$に表記を戻すと以下のようになります。
$$
\begin{align}
p(y)
&\simeq
p(b)+p'(b)(y-b)+\displaystyle\frac{1}{2}p'{}'(b)(y-b)^2
+
\displaystyle\frac{1}{6}p'{}'{}'(b)(y-b)^3
\\\\
f(a,y)
&\simeq
f(a,b)+f_y(a,b)(y-b)+\displaystyle\frac{1}{2}f_{yy}(a,b)(y-b)^2
+
\displaystyle\frac{1}{6}f_{yyy}(a,b)(y-b)^3
\tag{2}
\end{align}
$$
残りの$q,r,s$の3つの関数も$y=b$で3次の項までテイラー展開して、表記を$f$に戻すと以下のようになります。
$$
\begin{align}
q(y)
&\simeq
q(b)+q'(b)(y-b)+\displaystyle\frac{1}{2}q'{}'(b)(y-b)^2
+
\displaystyle\frac{1}{6}q'{}'{}'(b)(y-b)^3
\\\\
f_x(a,y)
&\simeq
f_x(a,b)+f_{xy}(a,b)(y-b)+\displaystyle\frac{1}{2}f_{xyy}(a,b)(y-b)^2
+
\displaystyle\frac{1}{6}f_{xyyy}(a,b)(y-b)^3
\tag{3}
\end{align}
$$
$$
\begin{align}
r(y)
&\simeq
r(b)+r'(b)(y-b)+\displaystyle\frac{1}{2}r'{}'(b)(y-b)^2
+
\displaystyle\frac{1}{6}r'{}'{}'(b)(y-b)^3
\\\\
f_{xx}(a,y)
&\simeq
f_{xx}(a,b)+f_{xxy}(a,b)(y-b)+\displaystyle\frac{1}{2}f_{xxyy}(a,b)(y-b)^2
+
\displaystyle\frac{1}{6}f_{xxyyy}(a,b)(y-b)^3
\tag{4}
\end{align}
$$
$$
\begin{align}
s(y)
&\simeq
s(b)+s'(b)(y-b)+\displaystyle\frac{1}{2}s'{}'(b)(y-b)^2
+
\displaystyle\frac{1}{6}s'{}'{}'(b)(y-b)^3
\\\\
f_{xxx}(a,y)
&\simeq
f_{xxx}(a,b)+f_{xxxy}(a,b)(y-b)+\displaystyle\frac{1}{2}f_{xxxyy}(a,b)(y-b)^2
+
\displaystyle\frac{1}{6}f_{xxxyyy}(a,b)(y-b)^3
\tag{5}
\end{align}
$$
式(2)(3)(4)(5)を式(1)へ代入すると
$$
\begin{array}{lllllllllllllll}
f(x,y) & \simeq & f(a,b) & + & f_y(a,b)(y-b) & + & \displaystyle\frac{1}{2}f_{yy}(a,b)(y-b)^2 & + &
\displaystyle\frac{1}{6}f_{yyy}(a,b)(y-b)^3 &&&&&&
\\\\
&&& + & f_x(a,b)(x-a) & + & f_{xy}(a,b)(x-a)(y-b) & + & \displaystyle\frac{1}{2}f_{xyy}(a,b)(x-a)(y-b)^2 & + & \displaystyle\frac{1}{6}f_{xyyy}(a,b)(x-a)(y-b)^3 &&&&
\\\\
&&&&& + & \displaystyle\frac{1}{2}f_{xx}(a,b)(x-a)^2 & + & \displaystyle\frac{1}{2}f_{xxy}(a,b)(x-a)^2(y-b) & + & \displaystyle\frac{1}{4}f_{xxyy}(a,b)(x-a)^2(y-b)^2 & + & \displaystyle\frac{1}{12}f_{xxyyy}(a,b)(x-a)^2(y-b)^3 &&
\\\\
&&&&&&& + & \displaystyle\frac{1}{6}f_{xxx}(a,b)(x-a)^3 & + & \displaystyle\frac{1}{6}f_{xxxy}(a,b)(x-a)^3(y-b) & + & \displaystyle\frac{1}{12}f_{xxxyy}(a,b)(x-a)^3(y-b)^2 & + & \displaystyle\frac{1}{36}f_{xxxyyy}(a,b)(x-a)^3(y-b)^3
\end{array}
$$
となります。今は3次の項までのテイラー展開がしたいので、4次以降の項を無視すると
$$
\begin{array}{lllllllll}
f(x,y) & \simeq & f(a,b) & + & f_y(a,b)(y-b) & + & \displaystyle\frac{1}{2}f_{yy}(a,b)(y-b)^2 & + &
\displaystyle\frac{1}{6}f_{yyy}(a,b)(y-b)^3
\\\\
&&& + & f_x(a,b)(x-a) & + & f_{xy}(a,b)(x-a)(y-b) & + & \displaystyle\frac{1}{2}f_{xyy}(a,b)(x-a)(y-b)^2
\\\\
&&&&& + & \displaystyle\frac{1}{2}f_{xx}(a,b)(x-a)^2 & + & \displaystyle\frac{1}{2}f_{xxy}(a,b)(x-a)^2(y-b)
\\\\
&&&&&&& + & \displaystyle\frac{1}{6}f_{xxx}(a,b)(x-a)^3
\end{array}
$$
この式を整理して
$$
f(x,y)
\simeq
f(a,b)
+
f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b)
+\displaystyle\frac{1}{2}
\left\{
f_{xx}(a,b)(x-a)^2 + 2f_{xy}(a,b)(x-a)(y-b) + f_{yy}(a,b)(y-b)^2
\right\}
+\displaystyle\frac{1}{6}
\left\{
f_{xxx}(a,b)(x-a)^3 + 3f_{xxy}(a,b)(x-a)^2(y-b) + 3f_{xyy}(a,b)(x-a)(y-b)^2 + f_{yyy}(a,b)(y-b)^3
\right\}
\tag{6}
$$
となります。
ここで「作用素」という表記方法を使います。作用素の書き方は以下のとおりです。
$$
\begin{align}
f_x(a,b)(x-a)
&=
\left\{
(x-a)
\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}
\right\}
f(a,b)
\\\\
f_{xx}(a,b)(x-a)^2
&=
\left\{
(x-a)
\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}
\right\}^2
f(a,b)
\end{align}
$$
左辺が従来どおりの書き方で、右辺が作用素を使った書き方です。見慣れない書き方ではありますが書き方の規則は伝わると思います。
この作用素を使って式(6)を書き直すと
$$
f(x,y)
\simeq
f(a,b)
+
\left\{
(x-a)\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}+(y-b)\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}
\right\}
f(a,b)
+\displaystyle\frac{1}{2}
\left\{
(x-a)^2\displaystyle\frac{\partial ^2}{\partial x^2}+2(x-a)\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}(y-b)\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}+(y-b)^2\displaystyle\frac{\partial ^2}{\partial y^2}
\right\}
f(a,b)
+\displaystyle\frac{1}{6}
\left\{
(x-a)^3\displaystyle\frac{\partial ^3}{\partial x^3}+3(x-a)^2\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial x^2}(y-b)\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}+3(x-a)\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}(y-b)^2\displaystyle\frac{\partial ^2}{\partial y^2}+(y-b)^3\displaystyle\frac{\partial ^3}{\partial y^3}
\right\}
f(a,b)
\tag{7}
$$
となります。ここで作用素の2乗と3乗が
$$
\begin{align}
\left\{
(x-a)\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}+(y-b)\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}
\right\}^2
&=
\left\{
(x-a)^2\displaystyle\frac{\partial ^2}{\partial x^2}+2(x-a)\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}(y-b)\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}+(y-b)^2\displaystyle\frac{\partial ^2}{\partial y^2}
\right\}
\\\\
\left\{
(x-a)\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}+(y-b)\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}
\right\}^3
&=
\left\{
(x-a)^3\displaystyle\frac{\partial ^3}{\partial x^3}+3(x-a)^2\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial x^2}(y-b)\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}+3(x-a)\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}(y-b)^2\displaystyle\frac{\partial ^2}{\partial y^2}+(y-b)^3\displaystyle\frac{\partial ^3}{\partial y^3}
\right\}
\end{align}
$$
このように計算できることを利用して式(7)を書き直すと
$$
f(x,y)
\simeq
f(a,b)
+
\left\{
(x-a)\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}+(y-b)\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}
\right\}
f(a,b)
+\displaystyle\frac{1}{2}
\left\{
(x-a)\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}+(y-b)\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}
\right\}^2
f(a,b)
+\displaystyle\frac{1}{6}
\left\{
(x-a)\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}+(y-b)\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}
\right\}^3
f(a,b)
\tag{8}
$$
となります。この式の形はシグマで表現できるので
$$
f(x,y)
\simeq
\displaystyle\sum_{k=0}^3
\displaystyle\frac{1}{k!}
\left\{
(x-a)\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}+(y-b)\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}
\right\}^k
f(a,b)
\tag{9}
$$
以上で2変数関数の3次の項までのテイラー展開が導出できました。
式(6)(7)(8)(9)は表記方法が異なるだけの同じ内容の式です。
作用素の書き方を用いることで式(9)のようなスッキリした見た目にできますが、実際に手計算するときは式(6)が計算ミスしにくい形だと思います。
これを無限項まで行うと
$$
f(x,y)
=
\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}
\displaystyle\frac{1}{n!}
\left\{
(x-a)\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}+(y-b)\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}
\right\}^n
f(a,b)
$$
となります。これで2変数関数のテイラー展開の式の導出終了です。
マクローリン展開の式は$(a,b)=(0,0)$を代入して以下のようになります。
$$
f(x,y)
=
\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}
\displaystyle\frac{1}{n!}
\left\{
x\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}+y\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}
\right\}^n
f(0,0)
$$
2変数関数のテイラー展開の例題
それでは例題4つでテイラー展開の計算をしてみましょう。
例題1
$$
f(x,y)
=
x^4+2x^3y+2x^2y^2+4xy^3
$$
この関数を$(x,y)=(1,2)$で3次の項までテイラー展開します。
必要な偏導関数の計算から行います。
$$
\begin{array}{lll}
f(x,y) = x^4+2x^3y+2x^2y^2+4xy^3
& , &
f(1,2) = 49
\\\\
f_x(x,y) = 4x^3+6x^2y+6xy^2+4y^3
& , &
f_x(1,2) = 72
\\\\
f_y(x,y) = 2x^3+6x^2y+12xy^2
& , &
f_y(1,2) = 62
\\\\
f_{xx}(x,y) = 12x^2+12xy+6y^2
& , &
f_{xx}(1,2) = 60
\\\\
f_{xy}(x,y) = 6x^2+12xy+12y^2
& , &
f_{xy}(1,2) = 78
\\\\
f_{yy}(x,y) = 6x^2+24xy
& , &
f_{xy}(1,2) = 54
\\\\
f_{xxx}(x,y) = 24x+12y
& , &
f_{xxx}(1,2) = 48
\\\\
f_{xxy}(x,y) = 12x+12y
& , &
f_{xxy}(1,2) = 36
\\\\
f_{xyy}(x,y) = 12x+24y
& , &
f_{xyy}(1,2) = 60
\\\\
f_{yyy}(x,y) = 24x
& , &
f_{yyy}(1,2) = 24
\end{array}
$$
これらをテイラー展開の式に代入します。
$$
\begin{align}
f(x,y)
&\simeq
f(1,2)
+
f_x(1,2)(x-1) + f_y(1,2)(y-2)
+\displaystyle\frac{1}{2}
\left\{
f_{xx}(1,2)(x-1)^2 + 2f_{xy}(1,2)(x-1)(y-2) + f_{yy}(1,2)(y-2)^2
\right\}
+\displaystyle\frac{1}{6}
\left\{
f_{xxx}(1,2)(x-1)^3 + 3f_{xxy}(1,2)(x-1)^2(y-2) + 3f_{xyy}(1,2)(x-1)(y-2)^2 + f_{yyy}(1,2)(y-2)^3
\right\}
\\\\&=
49
+
72(x-1) + 62(y-2)
+\displaystyle\frac{1}{2}
\left\{
60(x-1)^2 + 156(x-1)(y-2) + 54(y-2)^2
\right\}
+\displaystyle\frac{1}{6}
\left\{
48(x-1)^3 + 108(x-1)^2(y-2) + 180(x-1)(y-2)^2 + 24(y-2)^3
\right\}
\\\\&=
49
+
72(x-1) + 62(y-2)
+
30(x-1)^2 + 78(x-1)(y-2) + 27(y-2)^2
+
8(x-1)^3 + 18(x-1)^2(y-2) + 30(x-1)(y-2)^2 + 4(y-2)^3
\end{align}
$$
例題2
$$
f(x,y)
=
e^x \log(1+y)
$$
この関数を3次の項までマクローリン展開します。
必要な偏導関数の計算から行います。
$$
\begin{array}{lll}
f(x,y) = e^x \log(1+y)
& , &
f(0,0) = 0
\\\\
f_x(x,y) = e^x \log(1+y)
& , &
f_x(0,0) = 0
\\\\
f_y(x,y) = e^x \displaystyle\frac{1}{1+y}
& , &
f_y(0,0) = 1
\\\\
f_{xx}(x,y) = e^x \log(1+y)
& , &
f_{xx}(0,0) = 0
\\\\
f_{xy}(x,y) = e^x \displaystyle\frac{1}{1+y}
& , &
f_{xy}(0,0) = 1
\\\\
f_{yy}(x,y) = e^x \displaystyle\frac{-1}{(1+y)^2}
& , &
f_{xy}(0,0) = -1
\\\\
f_{xxx}(x,y) = e^x \log(1+y)
& , &
f_{xxx}(0,0) = 0
\\\\
f_{xxy}(x,y) = e^x \displaystyle\frac{1}{1+y}
& , &
f_{xxy}(0,0) = 1
\\\\
f_{xyy}(x,y) = e^x \displaystyle\frac{-1}{(1+y)^2}
& , &
f_{xyy}(0,0) = -1
\\\\
f_{yyy}(x,y) = e^x \displaystyle\frac{2}{(1+y)^3}
& , &
f_{yyy}(0,0) = 2
\end{array}
$$
これらをテイラー展開の式に代入します。
$$
\begin{align}
f(x,y)
&\simeq
f(0,0)
+
f_x(0,0)x + f_y(0,0)y
+\displaystyle\frac{1}{2}
\left\{
f_{xx}(0,0)x^2 + 2f_{xy}(0,0)xy + f_{yy}(0,0)y^2
\right\}
+\displaystyle\frac{1}{6}
\left\{
f_{xxx}(0,0)x^3 + 3f_{xxy}(0,0)x^2y + 3f_{xyy}(0,0)xy^2 + f_{yyy}(0,0)y^3
\right\}
\\\\&=
y
+
\displaystyle\frac{1}{2}
(2xy-y^2)
+\displaystyle\frac{1}{6}
(3x^2y-3xy^2+2y^3)
\end{align}
$$
例題3
$$
f(x,y)
=
e^{xy}
$$
この関数を3次の項までマクローリン展開します。
必要な偏導関数の計算から行います。
$$
\begin{array}{lll}
f(x,y) = e^{xy}
& , &
f(0,0) = 1
\\\\
f_x(x,y) = ye^{xy}
& , &
f_x(0,0) = 0
\\\\
f_y(x,y) = xe^{xy}
& , &
f_y(0,0) = 0
\\\\
f_{xx}(x,y) = y^2e^{xy}
& , &
f_{xx}(0,0) = 0
\\\\
f_{xy}(x,y) = (1+xy)e^{xy}
& , &
f_{xy}(0,0) = 1
\\\\
f_{yy}(x,y) = x^2e^{xy}
& , &
f_{xy}(0,0) = 0
\\\\
f_{xxx}(x,y) = y^3e^{xy}
& , &
f_{xxx}(0,0) = 0
\\\\
f_{xxy}(x,y) = y(2+xy)e^{xy}
& , &
f_{xxy}(0,0) = 0
\\\\
f_{xyy}(x,y) = x(2+xy)e^{xy}
& , &
f_{xyy}(0,0) = 0
\\\\
f_{yyy}(x,y) = x^3e^{xy}
& , &
f_{yyy}(0,0) = 0
\end{array}
$$
これらをテイラー展開の式に代入します。
$$
\begin{align}
f(x,y)
&\simeq
f(0,0)
+
f_x(0,0)x + f_y(0,0)y
+\displaystyle\frac{1}{2}
\left\{
f_{xx}(0,0)x^2 + 2f_{xy}(0,0)xy + f_{yy}(0,0)y^2
\right\}
+\displaystyle\frac{1}{6}
\left\{
f_{xxx}(0,0)x^3 + 3f_{xxy}(0,0)x^2y + 3f_{xyy}(0,0)xy^2 + f_{yyy}(0,0)y^3
\right\}
\\\\&=
1
+
\displaystyle\frac{1}{2}
(2xy)
\\\\&=
1+xy
\end{align}
$$
例題4
$$
f(x,y)
=
\sin(x+y)\cos(xy)
$$
この関数を3次の項までマクローリン展開します。
必要な偏導関数の計算から行います。
・・・と言いたいところですが、この関数をマクローリン展開するのは死ぬほど大変です。
例えば2階偏導関数$f_{xy}$は以下のようになります。
$$
f_{xy}
=
-(x+y)\sin(xy)\cos(x+y)-\sin(x+y)\left\{\sin(xy)+(1+xy)\cos(xy)\right\}
$$
2階偏導関数でこの式ですから、3階導関数なんて計算していたら日が暮れてしまいます。
もっと楽に計算できないか考えてみましょう。
2変数関数のテイラー展開の計算の工夫
上の例題で伝わったかと思いますが、2変数関数のテイラー展開の計算はかなり大変です。
2変数関数のテイラー展開を楽に計算する方法がいくつかあるので紹介します。上の例題2,3,4を題材に計算します。
例題2
$$
f(x,y)
=
e^x \log(1+y)
$$
この関数のように
$$
f(x,y)
=
g(x)h(y)
$$
と分離できる場合、$g(x)$と$h(y)$をそれぞれマクローリン展開して最後に積を計算する、という方法でもうまくいきます。
最終的に$f(x,y)$の3次の項までのマクローリン展開がしたいので、$g(x)$と$h(y)$も3次の項までマクローリン展開します。
$$
e^x
\simeq
1+x+\displaystyle\frac{1}{2}x^2+\displaystyle\frac{1}{6}x^3
$$
$$
\log(1+y)
\simeq
y-\displaystyle\frac{1}{2}y^2+\displaystyle\frac{1}{3}y^3
$$
これらの積は
$$
e^x\log(1+y)
\simeq
\left(
1+x+\displaystyle\frac{1}{2}x^2+\displaystyle\frac{1}{6}x^3
\right)
\left(
y-\displaystyle\frac{1}{2}y^2+\displaystyle\frac{1}{3}y^3
\right)
$$
となります。これを計算して
$$
\begin{array}{lllllllllllll}
e^x\log(1+y) & \simeq & y &-& \displaystyle\frac{1}{2}y^2 & + & \displaystyle\frac{1}{3}y^3 &&&&&&
\\\\
&&& + & xy &-& \displaystyle\frac{1}{2}xy^2 & + & \displaystyle\frac{1}{3}xy^3 &&&&&
\\\\
&&&&& + & \displaystyle\frac{1}{2}x^2y &-& \displaystyle\frac{1}{4}x^2y^2 & + & \displaystyle\frac{1}{6}x^2y^3 &&&
\\\\
&&&&&&& + & \displaystyle\frac{1}{6}x^3y &-& \displaystyle\frac{1}{12}x^3y^2 & + & \displaystyle\frac{1}{18}x^3y^3
\end{array}
$$
今は3次の項までのマクローリン展開がしたいので、4次以降の項を無視すると
$$
\begin{array}{lllllll}
e^x\log(1+y) & \simeq & y &-& \displaystyle\frac{1}{2}y^2 & + & \displaystyle\frac{1}{3}y^3
\\\\
&&& + & xy &-& \displaystyle\frac{1}{2}xy^2
\\\\
&&&&& + & \displaystyle\frac{1}{2}x^2y
\end{array}
$$
この式を整理して
$$
\begin{align}
e^x\log(1+y)
&\simeq
y+xy-\displaystyle\frac{1}{2}y^2+\displaystyle\frac{1}{2}x^2y-\displaystyle\frac{1}{2}xy^2+\displaystyle\frac{1}{3}y^3
\\\\&=
y
+
\displaystyle\frac{1}{2}
(2xy-y^2)
+\displaystyle\frac{1}{6}
(3x^2y-3xy^2+2y^3)
\end{align}
$$
となります。
例題3
$$
f(x,y)
=
e^{xy}
$$
この関数のように
$$
f(x,y)
=
g(h(x,y))
$$
と表せる場合、$h(x,y)=t$とおいて、1変数関数とみなしながらマクローリン展開して最後に変数を戻す、という方法でもうまくいきます。
この例だと$xy=t$とおくことで
$$
f(x,y)
=
e^{xy}
=
e^t
$$
と1変数関数になります。
これを3次の項までマクローリン展開して
$$
e^t
\simeq
1+t+\displaystyle\frac{1}{2}t^2+\displaystyle\frac{1}{6}t^3
$$
となります。マクローリン展開が終わったら変数を戻して
$$
e^{xy}
\simeq
1+xy+\displaystyle\frac{1}{2}x^2y^2+\displaystyle\frac{1}{6}x^3y^3
$$
今は3次の項までのマクローリン展開がしたいので、4次以降の項を無視すると
$$
e^{xy}
\simeq
1+xy
$$
となります。
例題4
$$
f(x,y)
=
\sin(x+y)\cos(xy)
$$
さきほど計算を諦めたこの関数ですが、工夫すれば簡単に計算できます。
まずは変数を置き換えます。
$$
\begin{align}
u &= x+y
\\\\
v &= xy
\end{align}
$$
このように置き換えると
$$
f(x,y)
=
\sin(x+y)\cos(xy)
=
\sin u\cos v
$$
となるので、$g(u)$と$h(v)$に分離できました。それぞれ3次の項までマクローリン展開して
$$
\sin u
\simeq
u-\displaystyle\frac{1}{6}u^3
$$
$$
\cos v
\simeq
1-\displaystyle\frac{1}{2}v^2
$$
これらの積は
$$
\begin{align}
\sin u\cos v
&\simeq
\left(
u-\displaystyle\frac{1}{6}u^3
\right)
\left(
1-\displaystyle\frac{1}{2}v^2
\right)
\\\\&=
u-\displaystyle\frac{1}{2}uv^2-\displaystyle\frac{1}{6}u^3+\displaystyle\frac{1}{12}u^3v^2
\end{align}
$$
ここで$v^2=x^2y^2$なので4次の項になります。
今は3次の項までのマクローリン展開がしたいので、$v^2$を無視すると
$$
\sin u\cos v
\simeq
u-\displaystyle\frac{1}{6}u^3
$$
ここで変数を戻して
$$
\sin (x+y)\cos (xy)
\simeq
x+y-\displaystyle\frac{1}{6}(x+y)^3
$$
となります。
まとめ
テイラー展開の公式は以下の式です。
$$
f(x,y)
=
\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}
\displaystyle\frac{1}{n!}
\left\{
(x-a)\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}+(y-b)\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}
\right\}^n
f(a,b)
$$
マクローリン展開の公式は以下の式です。
$$
f(x,y)
=
\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}
\displaystyle\frac{1}{n!}
\left\{
x\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}+y\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}
\right\}^n
f(0,0)
$$
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