全微分の意味と計算方法

こんにちはコーヤです。

このページでは、多変数関数に含まれる変数すべてに注目して微分する、全微分の意味と計算方法を勉強します。

偏微分と全微分の違い
全微分の条件と公式
全微分の導出
全微分計算の例題
全微分の変数変換
まとめ

偏微分と全微分の違い

偏微分と比べながら全微分の意味を確認します。

左側が偏微分のイメージ、右側が全微分のイメージです。

偏微分の変化量

$x$ が $Δ x$ だけ変化した時の $z$ の変化量 $Δ z$ は以下の式で表されます。

$Δ z = f (x + Δ x, y) - f (x, y)$

全微分の変化量

$x$ が $Δ x$ だけ、 $y$ が $Δ y$ だけ変化した時の $z$ の変化量 $Δ z$ は以下の式で表されます。

$Δ z = f (x + Δ x, y + Δ y) - f (x, y)$

偏微分は1つの変数に注目して微分しましたが、全微分では全ての変数に注目して微分します。

全微分の条件と公式

全微分可能となる条件は以下の式が成り立つことです。

$lim_{(Δ x Δ y) \to (0, 0)} \frac{f (x + Δ x, y + Δ y) - {f (x, y) + f_{x} (x, y) Δ x + f_{y} (x, y) Δ y}}{\sqrt{(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}}} = 0$

このとき全微分は以下のように表されます。

$d f = f_{x} (x, y) d x + f_{y} (x, y) d y$

条件と公式だけ見ても意味が分からないので、この条件と公式の導出を行います。

全微分の導出

曲面 $z = f (x, y)$ を平面で近似できるか計算します。

図の曲面が $f (x, y)$ 、平面 $α$ が点 $A$ における近似平面を表しています。

点 $A_{0}, B_{0}, C_{0}, D_{0}$ は $x y$ 平面上の点で、それぞれ座標は以下のようにします。

$\begin{aligned} A_{0} & = (x, y, 0) \\ B_{0} & = (x + Δ x, y, 0) \\ C_{0} & = (x, y + Δ y, 0) \\ D_{0} & = (x + Δ x, y + Δ y, 0) \end{aligned}$

点 $A_{0} B_{0}$ 間の距離は $Δ x$ で、点 $A_{0} C_{0}$ 間の距離は $Δ y$ です。

曲面 $f (x, y)$ は点 $A B C D$ で表し、近似平面 $α$ は点 $A B^{'} C^{'} D^{'}$ で表します。

ここで近似平面 $α$ の点 $B^{'}$ と点 $C^{'}$ の位置は、曲線 $A B$ の点 $A$ での接線が直線 $A B^{'}$ となるように、曲線 $A C$ の点 $A$ での接線が直線 $A C^{'}$ となるようにします。

次に、この3次元の図を3方向から見ていきます。 $A B A_{0} B_{0}$ の面、 $A C A_{0} C_{0}$ の面、 $A D A_{0} D_{0}$ の面の3種類を以下に表します。

図左側の $A B A_{0} B_{0}$ の面について考えます。

新たな点 $B_{1}$ を図のように設定します。

点 $A_{0} B_{0}$ 間の距離は $Δ x$ なので、点 $A B_{1}$ 間の距離も $Δ x$ です。

直線 $A B^{'}$ の傾きは曲線 $A B$ の接線なので傾き $f_{x} (x, y)$ です。

したがって点 $B^{'} B_{1}$ 間の距離 $b$ は、傾き $f_{x} (x, y)$ の直線が $Δ x$ だけ変化したときの変化量なので

$b = f_{x} (x, y) Δ x$

と表すことができます。

図中央の $A C A_{0} C_{0}$ の面についても同様の計算です。点 $C^{'} C_{1}$ 間の距離 $c$ は以下のように表されます。

$c = f_{y} (x, y) Δ y$

最後に図右側の $A D A_{0} D_{0}$ の面です。

点 $D^{'} D_{1}$ 間の距離 $d$ は $A B^{'} C^{'} D^{'}$ が平面であることを利用して

$\begin{aligned} d & = b + c \\ = f_{x} (x, y) Δ x + f_{y} (x, y) Δ y \end{aligned}$

となります。

次に点 $D D^{'}$ 間の距離を $ε (x, y)$ とします。

点 $D$ の $z$ 座標は $f (x + Δ x, y + Δ y)$ で、点 $D^{'}$ の $z$ 座標は点 $A$ の $z$ 座標 $f (x, y)$ に距離 $d$ を足したものです。

したがって $ε (x, y)$ は

$ε (x, y) = f (x + Δ x, y + Δ y) - {f (x, y) + f_{x} Δ x + f_{y} Δ y}$

となります。

これで曲面 $f (x, y)$ と平面 $α$ の位置関係が分かりました。

曲面 $f (x, y)$ を平面 $α$ で近似する計算をしましたが、点 $D D^{'}$ 間の距離 $ε (x, y)$ が曲面と近似平面の誤差となっています。

この誤差 $ε (x, y)$ が無視できるほど小さければ近似成功です。

ここで $(Δ x, Δ y) \to (0, 0)$ のとき、点 $A_{0} D_{0}$ 間も0になります。点 $A_{0} D_{0}$ 間が0になるより速く $ε (x, y)$ が0になってくれれば、誤差は無視できると考えられます。

この条件を式で表すと

$lim_{(Δ x Δ y) \to (0, 0)} \frac{ε (x, y)}{\sqrt{(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}}} = 0$

となります。これが全微分可能となる条件です。

この条件を満たす場合の点 $A D$ 間の $z$ 座標の差 $Δ z$ を計算しましょう。今 $Δ z$ は

$\begin{aligned} Δ z & = d + ε (x, y) \\ = f_{x} (x, y) Δ x + f_{y} (x, y) Δ y + ε (x, y) \end{aligned}$

と表すことができます。両辺を $\sqrt{(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}}$ で割って

$\frac{Δ z}{\sqrt{(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}}} = f_{x} (x, y) \frac{Δ x}{\sqrt{(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}}} + f_{y} (x, y) \frac{Δ y}{\sqrt{(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}}} + \frac{ε (x, y)}{\sqrt{(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}}}$

ここで $(Δ x, Δ y) \to (0, 0)$ とすると、条件より $ε (x, y)$ の項は無視できるので

$\frac{d z}{\sqrt{(d x)^{2} + (d y)^{2}}} = f_{x} (x, y) \frac{d x}{\sqrt{(d x)^{2} + (d y)^{2}}} + f_{y} (x, y) \frac{d y}{\sqrt{(d x)^{2} + (d y)^{2}}}$

両辺 $\sqrt{(d x)^{2} + (d y)^{2}}$ をかけて

$d z = f_{x} (x, y) d x + f_{y} (x, y) d y$

となります。これで条件と公式の導出が終わりました。

全微分計算の例題

それでは例題2つで全微分の計算をしてみましょう。

全微分可能かどうか判定し、その後全微分を求めます。

例題1

$f (x, y) = x^{2} + y^{2}$

全微分可能かどうか確かめます。

$\begin{aligned} f_{x} (x, y) & = 2 x \\ f_{y} (x, y) & = 2 y \end{aligned}$

より誤差 $ε (x, y)$ は

$\begin{aligned} ε (x, y) & = f (x + Δ x, y + Δ y) - {f (x, y) + f_{x} (x, y) Δ x + f_{y} (x, y) Δ y} \\ = (x + Δ x)^{2} + (y + Δ y)^{2} - {x^{2} + y^{2} + 2 x Δ x + 2 y Δ y} \\ = (Δ x)^{2} + (Δ y)^{2} \end{aligned}$

となります。これを全微分の条件式に代入して

$\begin{aligned} lim_{(Δ x Δ y) \to (0, 0)} \frac{ε (x, y)}{\sqrt{(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}}} & = lim_{(Δ x Δ y) \to (0, 0)} \frac{(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}}{\sqrt{(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}}} \\ = lim_{(Δ x Δ y) \to (0, 0)} \sqrt{(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}} \\ = 0 \end{aligned}$

となるので $f (x, y)$ は全微分可能です。よって全微分は

$\begin{aligned} d f & = f_{x} (x, y) d x + f_{y} (x, y) d y \\ = 2 x d x + 2 y d y \end{aligned}$

となります。

例題2

$f (x, y) = x y$

全微分可能かどうか確かめます。

$\begin{aligned} f_{x} (x, y) & = y \\ f_{y} (x, y) & = x \end{aligned}$

より誤差 $ε (x, y)$ は

$\begin{aligned} ε (x, y) & = f (x + Δ x, y + Δ y) - {f (x, y) + f_{x} (x, y) Δ x + f_{y} (x, y) Δ y} \\ = (x + Δ x) (y + Δ y) - {x y + y Δ x + x Δ y} \\ = Δ x Δ y \end{aligned}$

となります。これを全微分の条件式に代入して

$lim_{(Δ x Δ y) \to (0, 0)} \frac{ε (x, y)}{\sqrt{(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}}} = lim_{(Δ x Δ y) \to (0, 0)} \frac{Δ x Δ y}{\sqrt{(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}}}$

このままだと計算できないので

$\begin{aligned} Δ x & = r \cos θ \\ Δ y & = r \sin θ \end{aligned}$

として $r \to 0$ の極限に変換します。

$\begin{aligned} lim_{(Δ x Δ y) \to (0, 0)} \frac{Δ x Δ y}{\sqrt{(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}}} & = lim_{r \to 0} \frac{r^{2} \cos θ \sin θ}{r} \\ = lim_{r \to 0} r \cos θ \sin θ \\ = 0 \end{aligned}$

となるので $f (x, y)$ は全微分可能です。よって全微分は

$\begin{aligned} d f & = f_{x} (x, y) d x + f_{y} (x, y) d y \\ = y d x + x d y \end{aligned}$

となります。

全微分の変数変換

関数 $f (x, y)$ の $x$ と $y$ が、他の関数で表されている場合の微分を考えます。

1変数で置換する場合

変数 $t$ を用いて $x, y$ が

$\begin{aligned} x & = x (t) \\ y & = y (t) \end{aligned}$

と表される場合、関数 $f (x, y)$ を $t$ で微分すると

$\begin{aligned} \frac{d f}{d t} & = \frac{f_{x} (x, y) d x + f_{y} (x, y) d y}{d t} \\ = f_{x} (x, y) \frac{d x}{d t} + f_{y} (x, y) \frac{d y}{d t} \\ = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{d x}{d t} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{d y}{d t} \end{aligned}$

となります。

例えば

$\begin{array}{cccc} f (x, y) = x y & \begin{array}{l} x = t^{3} \\ y = \sin t \end{array} \end{array}$

この関数を $t$ で微分すると

$\begin{aligned} \frac{d f}{d t} & = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{d x}{d t} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{d y}{d t} \\ = y \cdot 3 t^{2} + x \cdot \cos t \\ = \sin t \cdot 3 t^{2} + t^{3} \cdot \cos t \\ = 3 t^{2} \sin t + t^{3} \cos t \end{aligned}$

となります。

2変数で置換する場合

変数 $u, v$ を用いて $x, y$ が

$\begin{aligned} x & = x (u, v) \\ y & = y (u, v) \end{aligned}$

と表される場合、関数 $f (x, y)$ を $u$ と $v$ でそれぞれ微分すると

$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial u} & = \frac{f_{x} (x, y) d x + f_{y} (x, y) d y}{\partial u} \\ = f_{x} (x, y) \frac{\partial x}{\partial u} + f_{y} (x, y) \frac{\partial y}{\partial u} \\ = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial v} & = \frac{f_{x} (x, y) d x + f_{y} (x, y) d y}{\partial v} \\ = f_{x} (x, y) \frac{\partial x}{\partial v} + f_{y} (x, y) \frac{\partial y}{\partial v} \\ = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} \end{aligned}$

となります。

例えば

$\begin{array}{cccc} f (x, y) = x y & \begin{array}{l} x = u + v \\ y = u v \end{array} \end{array}$

この関数を $u$ と $v$ でそれぞれ微分すると

$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial u} & = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} \\ = y \cdot 1 + x \cdot v \\ = u v \cdot 1 + (u + v) \cdot v \\ = 2 u v + v^{2} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial v} & = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} \\ = y \cdot 1 + x \cdot u \\ = u v \cdot 1 + (u + v) \cdot u \\ = 2 u v + u^{2} \end{aligned}$

となります。

まとめ

全微分は多変数関数に含まれる全ての変数に注目して微分します。

全微分可能となる条件は以下の式が成り立つことです。

$lim_{(Δ x Δ y) \to (0, 0)} \frac{f (x + Δ x, y + Δ y) - {f (x, y) + f_{x} Δ x + f_{y} Δ y}}{\sqrt{(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}}} = 0$

このとき全微分は以下のように表されます。

$d f = f_{x} d x + f_{y} d y$

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1変数で置換する場合

2変数で置換する場合

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