テイラー展開の収束半径

こんにちはコーヤです。

このページでは、テイラー展開の収束半径の勉強をします。収束半径が分かるとテイラー展開が使える範囲と使えない範囲が判断できます。

収束半径の概要
収束半径の計算方法
収束半径が無限の場合
収束半径が有限の場合
収束半径の代表例
まとめ

収束半径の概要

テイラー展開は $x = a$ 付近での関数を級数で表現する方法でしたが、「付近」とはどのくらいの範囲なのかを明確にしよう、という主旨です。

「付近」とみなせる範囲のことを収束半径といいます。

関数によって収束半径が異なるので、テイラー展開をするときは一緒に収束半径も計算しないといけません。

収束半径の計算方法

テイラー展開の公式は以下の式でした。

$f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} f^{(n)} (a) (x - a)^{n}$

シグマを展開して、以下のように係数 $c_{n}$ を決めます。

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} f^{(n)} (a) (x - a)^{n} = c_{0} + c_{1} x + c_{2} x^{2} + c_{3} x^{3} + \dots + c_{n} x^{n} + \dots$

このように足し算が無限に続くので、右辺は無限級数と捉えることができます。

この無限級数が収束するかどうか、ダランベールの収束判定法で計算してみましょう。

ダランベールの収束判定法の詳細は収束判定法のページをご覧ください。

無限級数の収束判定法

無限級数が収束するかどうかの判定法をダランベール、コーシー、ラーベの3種類勉強します。数列の分野だけでなくテイラー展開の分野でも必須の知識です。

$\begin{aligned} r & = lim_{n \to \infty} \frac{| c_{n + 1} x^{n + 1} |}{| c_{n} x^{n} |} \\ = lim_{n \to \infty} | \frac{c_{n + 1}}{c_{n}} | | x | \end{aligned}$

これが収束するか発散するかは $r = 1$ のときが境目なので、 $r = 1$ を満たす $| x |$ を $| x | = R$ とします。

$lim_{n \to \infty} | \frac{c_{n + 1}}{c_{n}} | R = 1$

これより

$R = lim_{n \to \infty} | \frac{c_{n}}{c_{n + 1}} |$

となります。この $R$ の値を用いて

$| x | < R$ ならテイラー展開は収束
$| x | > R$ ならテイラー展開は発散
$| x | = R$ のテイラー展開は個別調査が必要

と無限級数の収束判定ができます。この $R$ を収束半径といい、テイラー展開できるのは $| x | < R$ の範囲だけです。

無限級数が収束するような $x$ の範囲のことを「付近」とみなしていた、ということです。

収束半径が無限の場合

$f (x) = \sin x$ をマクローリン展開して、収束半径を求めましょう。

まずはマクローリン展開から計算します。

$\begin{aligned} \sin x & = x - \frac{1}{6} x^{3} + \frac{1}{120} x^{5} - \frac{1}{5040} x^{7} + \dots \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{(2 n + 1)!} x^{2 n + 1} \end{aligned}$

シグマの形でマクローリン展開を表せたので、収束半径 $R$ の計算をします。

$\begin{aligned} R & = lim_{n \to \infty} | \frac{c_{n}}{c_{n + 1}} | \\ = lim_{n \to \infty} | \frac{\frac{(- 1)^{n}}{(2 n + 1)!}}{\frac{(- 1)^{n + 1}}{(2 n + 3)!}} | \\ = lim_{n \to \infty} (2 n + 3) (2 n + 2) \\ = \infty \end{aligned}$

収束半径は $R = \infty$ となりました。つまり $\sin x$ のマクローリン展開は $| x | < \infty$ の範囲で展開できるということです。 $| x | < \infty$ の範囲は $x$ 軸全体です。

3次式の近似から15次式の近似までを表示するGIF画像です。

次数を上げていけば近似できる $x$ の範囲がどんどん広がっていき、 $x$ 軸全体になりそう感じが読み取れます。

収束半径が有限の場合

$f (x) = \log (1 + x)$ をマクローリン展開して、収束半径を求めましょう。

まずはマクローリン展開から計算します。

$\begin{aligned} \log (1 + x) & = x - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{4} x^{4} + \dots \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{n + 1} x^{n + 1} \end{aligned}$

シグマの形でマクローリン展開を表せたので、収束半径 $R$ の計算をします。

$\begin{aligned} R & = lim_{n \to \infty} | \frac{c_{n}}{c_{n + 1}} | \\ = lim_{n \to \infty} | \frac{\frac{(- 1)^{n}}{n + 1}}{\frac{(- 1)^{n + 1}}{n + 2}} | \\ = lim_{n \to \infty} \frac{n + 2}{n + 1} \\ = 1 \end{aligned}$

収束半径は $R = 1$ となりました。つまり $\log (1 + x)$ のマクローリン展開は $| x | < 1$ の範囲で展開できるということです。

3次式の近似から15次式の近似までを表示するGIF画像です。

次数を上げていっても近似できる $x$ の範囲が広がっていきません。収束半径が示すとおり $| x | < 1$ の範囲でしか近似できていなさそうです。

ここまでの計算で $| x | < 1$ の範囲は収束、 $| x | > 1$ の範囲は発散であることが分かりましたが、 $| x | = 1$ の範囲は個別調査が必要なので、 $x = 1$ と $x = - 1$ がそれぞれ収束するか調べます。

$\log (1 + x)$ をマクローリン展開すると以下のようになっていました。

$\log (1 + x) = x - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{4} x^{4} + \dots$

これに $x = 1$ と $x = - 1$ をそれぞれ代入して計算すると

$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots = \log 2$

$- 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} - \dots = - \infty$

となり、 $x = 1$ では収束、 $x = - 1$ では発散となります。

この無限級数の値が $\log 2$ や $- \infty$ になることは収束判定法のページで計算しています。

無限級数の収束判定法

以上より $\log (1 + x)$ がマクローリン展開できる範囲は $- 1 < x \leq 1$ となります。

収束半径の代表例

以下に代表的な関数のマクローリン展開した結果と、その収束半径を示します。

$\begin{aligned} e^{x} & = 1 + x + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{6} x^{3} + \dots \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} x^{n} (- \infty < x < \infty) \end{aligned}$

$\begin{aligned} \log (1 + x) & = x - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{4} x^{4} + \dots \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{n + 1} x^{n + 1} (- 1 < x \leq 1) \end{aligned}$

$\begin{aligned} \sin x & = x - \frac{1}{6} x^{3} + \frac{1}{120} x^{5} - \frac{1}{5040} x^{7} + \dots \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{(2 n + 1)!} x^{2 n + 1} (- \infty < x < \infty) \end{aligned}$

$\begin{aligned} \cos x & = 1 - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{24} x^{4} - \frac{1}{720} x^{6} + \dots \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{(2 n)!} x^{2 n} (- \infty < x < \infty) \end{aligned}$

$\begin{aligned} \frac{1}{1 - x} & = 1 + x^{2} + x^{3} + x^{4} + \dots \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} (- 1 < x < 1) \end{aligned}$

まとめ

収束半径 $R$ の公式は以下の式です。

$R = lim_{n \to \infty} | \frac{c_{n}}{c_{n + 1}} |$

この $R$ の値を用いて以下のようにテイラー展開できる範囲が決まります。

$| x | < R$ ならテイラー展開可能
$| x | > R$ ならテイラー展開不可能
$| x | = R$ のテイラー展開は個別調査が必要

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