線形代数トップページ 線形代数 2021.03.072022.02.20 目次 余因子編連立方程式編線形空間編対角化編 余因子編 行列式の計算方法行列の重要な値である行列式の計算方法を2次、3次、4次以降と順に勉強します。 余因子の計算方法余因子の計算方法を3ステップに分けて勉強します。余因子は余因子展開や逆行列の計算に必要です。 余因子展開の計算方法余因子展開の計算方法を3ステップに分けて勉強します。余因子展開ができると高次の行列式が計算できるようになります。 行列式計算のテクニック行列式計算のテクニックを5つ勉強します。これで行列式を求めるときの計算量は90％くらい減ります。 余因子行列を用いた逆行列の計算方法余因子を使って逆行列を計算する方法を勉強します。計算量は多いですが、機械的に逆行列を求めることができます。 連立方程式編 クラメルの公式の使い方連立1次方程式を機械的に解けるようになるクラメルの公式を勉強します。 行基本変形のやり方行基本変形の3種類を勉強します。ランクの計算や掃き出し法に使われる重要な変形です。 掃き出し法を用いた逆行列の計算方法掃き出し法を使って逆行列を計算する方法を勉強します。成分が複雑ではない行列なら、素早く逆行列を求めることができます。 ランクの求め方と階段行列の作り方ランクの求め方を勉強します。連立方程式の分野で重要な自由度や、線形空間の分野で重要な像空間の次元など、ランクが役立つ場面はたくさんあります。 同次連立1次方程式の解と自由度の関係同次連立1次方程式の解と自由度の関係を勉強します。線形独立の判定、固有ベクトル、核空間などの場面で必要な線形代数の重要な知識です。 非同次連立1次方程式の解と自由度の関係非同次連立1次方程式の解と自由度の関係を勉強します。線形結合や基底変換の分野で重要な知識です。 線形空間編 線形空間の性質線形代数の鬼門である線形空間の性質を勉強します。 線形空間の基底と次元線形空間を生成する基底とその次元について勉強します。基底と次元は今後出てくる様々な空間で必要になる知識です。 部分空間と和空間の性質線形空間の一部分を切り取った部分空間の性質と、部分空間を組み合わせて作る和空間の性質を勉強をします。 像空間と核空間の計算方法線形写像の像空間と核空間の計算方法を勉強します。どちらも線形写像の性質を表す重要な空間です。 基底変換と表現行列の計算方法基底変換を行う表現行列の計算方法を3ステップに分けて勉強します。式変形するのと同じように、自由に空間を変形できるようになります。 内積空間と直交補空間の性質内積空間と直交補空間の性質を勉強します。線形空間に演算を定義を追加します。 正規直交基底の性質と計算方法正規直交基底の性質とグラムシュミットの正規直交化法について勉強します。どんな基底でも正規直交基底に変換できるようになります。 対角化編 固有値と固有ベクトルの計算方法固有値と固有ベクトルの計算方法を勉強します。行列の重要な値なので必ず計算できるようになっておきましょう。 行列の対角化の計算方法線形代数の定番問題である行列の対角化を4ステップに分けて勉強します。 対称行列の対角化直交行列を使用して対称行列の対角化を行います。対角化の特殊な場合で、主軸変換に応用されます。 直交行列を用いた主軸変換直交行列を用いた主軸変換を4ステップに分けて勉強します。斜めになった図形をまっすぐに直せるようになります。微積の分野で極値を見つけるときにも必要な計算です。 エルミート行列の対角化ユニタリ行列を使用してエルミート行列の対角化を行います。ついに行列は複素数の世界へ突入します。 ジョルダン標準形への変形対角化できない行列を「対角化っぽく」する、ジョルダン標準形という形への変形を勉強します。 対角化とジョルダン標準形の全パターン3次の行列の対角化とジョルダン標準形の計算を全パターン勉強します。 行列のn乗の計算方法行列のn乗を計算する方法を、対角化できる場合、ジョルダン標準形になる場合、ケーリー・ハミルトンの定理を使う場合の3パターン勉強します。
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